Olimpíada Brasileira de Matemática 2019 — Nível Universitário — Fase 2

Existence of a rational 2019x2019 matrix satisfying a cubic / quartic polynomial equation

Let $I$ and $0$ be the identity and zero square matrices, both of size 2019. Does there exist a square matrix $A$ with rational entries and size 2019 such that:

(a) $A^3+6A^2-2I=0$?

(b) $A^4+6A^3-2I=0$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di una matrice razionale 2019x2019 che soddisfa un’equazione polinomial cubica / quartic

Lasciate che $I$ e $0$ siano le matrici identiche e quadrate zero, entrambe di dimensione 2019. Esiste una matrice quadrata $A$ con voci razionali e dimensioni 2019 in modo tale che:

(a) $A^3+6A^2-2I=0$?

(b) $A^4+6A^3-2I=0$?

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Existence of a continuous increasing function squeezed between consecutive iterated-exponential growth scales

Let ${\exp }^{[0]}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be given by ${\exp }^{[0]}(x)=x$, for all $x\in \mathbb{R}$, and define recursively, for each positive integer $n$, the functions ${\exp }^{[n]}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ by ${\exp }^{[n]}(x)=e^{{\exp }^{[n-1]}(x)},\forall x\in \mathbb{R},$ where $e$ denotes Euler’s number. Let also ${\log }^{[0]}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be given by ${\log }^{[0]}(x)=x$, for all $x\in \mathbb{R}$, and define recursively, for each positive integer $n$, the functions ${\log }^{[n]}:({\exp }^{[n-1]}(0),+\infty )\to \mathbb{R}$ by ${\log }^{[n]}(x)=\log ({\log }^{[n-1]}(x)),\forall x\in ({\exp }^{[n-1]}(0),+\infty ),$ where $\log$ is the natural logarithm. In other words, ${\exp }^{[n]}$ represents the composition of the exponential function $n$ times, and ${\log }^{[n]}$ represents the composition of the logarithm function $n$ times, whenever such a composition can be performed.

Prove that there exists a continuous and increasing function $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ such that for every $n\in \mathbb{N}$ we have: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{{\exp }^{[n]}({\log }^{[n]}(x)+1)}=+\infty$ ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{{\exp }^{[n+1]}({\log }^{[n+1]}(x)-1)}=0.$

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Estremalità Abilita: Astrazione, Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di una funzione in continua crescita compressa tra successive scale di crescita esponenziale iterata

Diamo ${\exp }^{[0]}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ da ${\exp }^{[0]}(x)=x$, per tutti $x\in \mathbb{R}$, e definiamo recursivamente, per ogni intero positivo $n$, le funzioni ${\exp }^{[n]}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ da ${\exp }^{[n]}(x)=e^{{\exp }^{[n-1]}(x)},\forall x\in \mathbb{R},$ dove $e$ indica il numero di Euler. Diamo anche ${\log }^{[0]}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ da ${\log }^{[0]}(x)=x$, per tutti $x\in \mathbb{R}$, e definiamo ricorritivamente, per ogni intero positivo $n$, le funzioni ${\log }^{[n]}:({\exp }^{[n-1]}(0),+\infty )\to \mathbb{R}$ da ${\log }^{[n]}(x)=\log ({\log }^{[n-1]}(x)),\forall x\in ({\exp }^{[n-1]}(0),+\infty ),$ dove $\log$ è il logaritmo naturale. In altre parole, ${\exp }^{[n]}$ rappresenta la composizione della funzione esponenziale $n$ volte, e ${\log }^{[n]}$ rappresenta la composizione della funzione logaritmica $n$ volte, quando tale composizione può essere eseguita.

Prove che esiste una funzione continua e crescente $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ tale che per ogni $n\in \mathbb{N}$ abbiamo: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{{\exp }^{[n]}({\log }^{[n]}(x)+1)}=+\infty$ ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{{\exp }^{[n+1]}({\log }^{[n+1]}(x)-1)}=0.$

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A system of three equations each with a sum of two square roots has exactly one nonnegative solution

Let $a$, $b$, $c$ be given real numbers. Prove that the system of equations $\{\begin{array}{l}2x+y+z=\sqrt{c^2+x^2}+\sqrt{c^2+y^2}\\ x+2y+z=\sqrt{b^2+x^2}+\sqrt{b^2+z^2}\\ x+y+2z=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{a^2+y^2}\end{array}$ has exactly one solution $(x,y,z)$ with $x,y,z\ge 0$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Un sistema di tre equazioni ognuna con la somma di due radici quadrate ha esattamente una soluzione non negativa

Si devono dare i numeri reali $a$, $b$, $c$. Prova che il sistema di equazioni $\{\begin{array}{l}2x+y+z=\sqrt{c^2+x^2}+\sqrt{c^2+y^2}\\ x+2y+z=\sqrt{b^2+x^2}+\sqrt{b^2+z^2}\\ x+y+2z=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{a^2+y^2}\end{array}$ ha esattamente una soluzione $(x,y,z)$ con $x,y,z\ge 0$.

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Find all functions f:R->R with f(xf(y)+f(x))+f(y^2)=f(x)+yf(x+y)

Determine all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that for all $x,y\in \mathbb{R}$: $f(xf(y)+f(x))+f(y^2)=f(x)+yf(x+y).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Trova tutte le funzioni f:R->R con f(xf(y) + f(x)) + f(y^2) = f(x) +yf(x+y) *

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in modo tale che per tutte le $x,y\in \mathbb{R}$: $f(xf(y)+f(x))+f(y^2)=f(x)+yf(x+y).$

src_obm_2019_nu_f2__Q04

Determine the exponent beta(M,k) in the asymptotic count of multiples of k-prime powers with exponents >= k

Let $M$, $k$ be positive integers. Let $X_{M,k}$ be the set of multiples of numbers of the form $p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ where $p_1,p_2,\dots ,p_k$ are prime numbers such that $M\le p_1<p_2<\cdots <p_k$ and $a_1,a_2,\dots ,a_k$ are integers greater than or equal to $k$. Prove that there exist positive real numbers $c(M,k)$ and $\beta (M,k)$ such that ${\lim }_{n\to \infty }\frac{|X_{M,k}\cap \{0,1,\dots ,n\}|}{n^{\beta (M,k)}}=c(M,k),$ and determine the value of $\beta (M,k)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Stima, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determine l’esponente beta(M,k) nel conteggio asimptotico di moltipli di potenze k-prime con esponenti >= k

Lasciate che $M$, $k$ siano numeri interi positivi. $X_{M,k}$ sia l’insieme dei multipli di numeri della forma $p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ in cui $p_1,p_2,\dots ,p_k$ sono numeri primi in modo tale che $M\le p_1<p_2<\cdots <p_k$ e $a_1,a_2,\dots ,a_k$ siano integri superiori o uguali a $k$. Prove che esistono numeri reali positivi $c(M,k)$ e $\beta (M,k)$ tali da ${\lim }_{n\to \infty }\frac{|X_{M,k}\cap \{0,1,\dots ,n\}|}{n^{\beta (M,k)}}=c(M,k),$ e determina il valore di $\beta (M,k)$.

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Limit of f(n)/n! where f(n) counts derangements with no 2-cycles (secret friend with no ‘jam’)

In a friends gathering, suppose no one is their own secret friend. We say that two people $A$ and $B$ have a “jam” (marmelada) if there exist two people $A$ and $B$ such that $B$ is $A$‘s secret friend and $A$ is $B$‘s secret friend. For each positive integer $n$, let $f(n)$ be the number of secret-friend drawings with $n$ people that have no “jam”, i.e. $f(n)$ is the number of permutations $\sigma$ of $\{1,2,\dots ,n\}$ such that:

$\circ$ $\sigma (i)\ne i$ for all $i=1,2,\dots ,n$;

$\circ$ there do not exist $1\le i<j\le n$ such that $\sigma (i)=j$ and $\sigma (j)=i$.

Determine the limit ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{f(n)}{n!}.$

Topic: Combinatoria, Probabilità Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Limite di f n)/n! in cui f(n) conta i disturbi senza cicli a due (amice segreto senza “interruzione”)

In una riunione di amicizia, supponiamo che nessuno sia il proprio amico segreto. Diciamo che due persone $A$ e $B$ hanno un “jam” (marmelada) se esistono due persone $A$ e $B$ in modo tale che $B$ sia l’amico segreto di $A$ e $A$ sia l’amico segreto di $B$. Per ogni numero intero positivo $n$, $f(n)$ è il numero di disegni di amici segreti con $n$ persone che non hanno “jam”, cioè $f(n)$ è il numero di permutazioni $\sigma$ di $\{1,2,\dots ,n\}$ in modo tale che:

$\circ$ $\sigma (i)\ne i$ per tutti $i=1,2,\dots ,n$;

$\circ$ non esistono $1\le i<j\le n$ tali da $\sigma (i)=j$ e $\sigma (j)=i$.

Determinare il limite ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{f(n)}{n!}.$

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