Rectangle divided by its diagonal into white, grey and blue triangles; find areas and the area of a new rectangle built on the diagonal
A rectangle was divided into 3 triangles: one white, one grey and one blue. The blue triangle has, on the diagonal of the rectangle, double the length of the side of the grey triangle on that diagonal. The top side of the rectangle measures cm and the left side measures cm. Along the diagonal, the grey triangle occupies a segment of length and the blue triangle a segment of length .
a) What is the area of the white triangle?
b) What is the area of the blue triangle?
We draw a rectangle that has as one of its sides the diagonal of the original rectangle. The side opposite to this side of the new rectangle passes through one of the vertices of the original rectangle.
c) What is the area of the yellow rectangle?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Rettangolo diviso dalla sua diagonale in triangoli bianchi, grigi e blu; trovare aree e la superficie di un nuovo rettangolo costruito sulla diagonale
Un rettangolo era diviso in tre triangoli: uno bianco, uno grigio e uno blu. Il triangolo blu ha, sulla diagonale del rettangolo, il doppio della lunghezza del lato del triangolo grigio su quella diagonale. Il lato superiore del rettangolo misura cm e il lato sinistro misura cm. Lungo la diagonale, il triangolo grigio occupa un segmento di lunghezza e il triangolo blu un segmento di lunghezza .
a) Qual è l’area del triangolo bianco?
b) Qual è l’area del triangolo blu?
Disegniamo un rettangolo che ha come uno dei suoi lati la diagonale del rettangolo originale. Il lato opposto a questo lato del nuovo rettangolo passa attraverso uno dei vertici del rettangolo originale.
c) Qual è l’area del rettangolo giallo?
A standard die (opposite faces sum to 7) rolls across a 3x3 board from A to H; determine the top face and the two visible side faces
On a die, the sum of the numbers on two opposite faces is always . Figure 1 shows a board with square cells, one empty and the others marked with the letters of the alphabet from to . Figure 2 shows a common die occupying the empty cell of that board.
The die rolls over an edge, without sliding, to occupy cell . Then it rolls over another edge to occupy cell , and so on, rolling and following the alphabet until it occupies the central cell . There the path ends.
a) What is the number on the top face of the die?
b) Considering the die when it reaches the central cell , that is, from the same viewpoint as Figure 2, what are the numbers on the other two visible faces? Justify your answer.
Topic: Combinatoria, Geometria solida, Logica Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF
Un dado standard (la somma delle facce opposte è pari a 7) ruota su una lavagna 3x3 da A a H; determina la faccia superiore e le due facce laterali visibili
Su un dado, la somma dei numeri su due facce opposte è sempre . La figura 1 mostra una lavagna con celle quadrate , una vuota e le altre contrassegnate con le lettere dell’alfabeto da a . La figura 2 mostra un dado comune che occupa la cella vuota di quella lavagna.
Il marchio si snoda su un bordo, senza scivolare, per occupare la cella . Poi si ruota su un altro bordo per occupare la cella , e così via, ruotando e seguendo l’alfabeto fino a occupare la cella centrale . E’ qui che finisce il sentiero.
a) Qual è il numero sulla faccia superiore del dado?
b) Considerando il dado quando raggiunge la cella centrale , cioè dallo stesso punto di vista della figura 2, quali sono i numeri sulle altre due facce visibili? Giustifica la tua risposta.
Sums of the initial decimal digits of 7/33 and 11/41 after the decimal point: reach exactly 1202, show 2020 is impossible, reach at least 2021
When dividing an integer by another integer, we may obtain an integer result or not. For example, is an integer and is not an integer. There exist divisions in which the result is not an integer and, even using decimal places after the comma, the division never ends and we have a number with an infinite decimal representation. For example, so that the decimal representation of is infinite.
a) Juca observed that We can observe the sums of the digits of the initial decimal places after the comma: , , , and so on. How many initial decimal places after the comma of the decimal representation of would Juca need to sum in order to obtain exactly ?
b) Show that it is not possible for Juca to sum the digits of some quantity of initial decimal places after the comma of the decimal representation of in order to obtain exactly .
c) Juca observed the decimal representation of . How many initial decimal places after the comma would Juca need to sum in order to obtain a result greater than or equal to ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Summa dei numeri decimali iniziali di 7/33 e 11/41 dopo il punto decimale: raggiungere esattamente 1202, mostrare che il 2020 è impossibile, raggiungere almeno 2021
Quando dividiamo un intero per un altro intero, possiamo ottenere un risultato intero o meno. Ad esempio, è un intero e non è un intero. Esistono divisioni in cui il risultato non è un numero intero e, anche utilizzando i punti decimali dopo la virgola, la divisione non finisce mai e abbiamo un numero con una rappresentazione decimale infinita. Ad esempio, in modo che la rappresentazione decimale di sia infinita.
a) Juca ha osservato che Si possono osservare le somme delle cifre delle prime decimali dopo la virgola: , , , e così via. Quante decimali iniziali dopo la virgola della rappresentazione decimale di dovrebbe sommare Juca per ottenere esattamente ?
b) dimostrare che per Juca non è possibile sommare le cifre di una certa quantità di prime decimali dopo la virgola della rappresentazione decimale di per ottenere esattamente .
c) Juca ha osservato la rappresentazione decimale di . Quante decimali iniziali dopo la virgola dovrebbe sommare Juca per ottenere un risultato maggiore o uguale a ?
Identify primes labelled A,B,C,D in the list; primadoido numbers (every two consecutive digits form a prime, all digits distinct); prove no 6-digit primadoido and find the largest
Prime numbers are those positive integers that possess exactly two distinct positive divisors: and itself. The first positive prime numbers are
a) Some primes were represented by , , and . Determine these primes.
A positive prime number is said to be if it has two or more digits, all its digits are distinct from one another, and every two consecutive digits form a prime number. For example, is primadoido, since and are prime, but and are not primadoido, since is not prime and does not have all its digits distinct.
b) Prove that a six-digit number cannot be primadoido.
c) Find the largest primadoido prime number.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
*Identificare i numeri primi etichettati A,B,C,D nell’elenco; i numeri primadoidi (ogni due cifre consecutive formano un primo, tutti i numeri distinti); dimostrare che non ci sono primadoidi a 6 cifre e trovare il più grande *
I numeri primi sono quei numeri interi positivi che possiedono esattamente due distinti divisori positivi: e se stesso. I primi numeri primi positivi sono
a) Alcune prime sono state rappresentate da , , e . Determina questi numeri primi.
Si dice che un numero primo positivo sia se ha due o più cifre, tutte le sue cifre sono distinte l’una dall’altra e ogni due cifre consecutive formano un numero primo. Ad esempio, è primadoido, dal momento che e sono prime, ma e non sono primadoido, dal momento che non è primo e non ha tutti i suoi numeri distinti.
b) dimostrare che un numero di sei cifre non può essere primadoido.
c) Trova il numero primo primato più grande.
Simple polygons and straight lines cutting their sides without passing through vertices: constructions and a parity argument
A simple polygon is determined by the union of line segments connecting points in sequence, in such a way that consecutive points of a sequence are joined by a segment and the last point of the sequence is joined to the first one. Consecutive sides are segments that share a vertex; the others are called non-consecutive sides. Such a sequence of points must be such that the only intersection points among the segments occur at the vertices of consecutive segments. The figure shows two examples of simple polygons and one example that is not a simple polygon.
a) Draw a simple polygon with sides and a line that does not contain any vertex but cuts of its sides.
b) Say whether it is possible to draw a simple polygon with sides and a line that does not contain any vertex and cuts sides of the polygon. If possible, show it with a drawing. If not, explain why.
c) Consider a simple polygon with sides. Explain why it is not possible to draw a line that cuts exactly sides of this polygon without passing through any of its vertices.
d) Make a sketch of a simple polygon with sides and lines such that these lines do not pass through any vertex and the numbers of sides cut by these lines are all distinct.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Invarianti, Doppio conteggio, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Poligoni semplici e linee rette che tagliano i loro lati senza passare attraverso vertici: costruzioni e un argomento di parità
Un poligono semplice è determinato dall’unione di segmenti di linea che collegano punti in sequenza, in modo tale che i punti consecutivi di una sequenza siano uniti da un segmento e l’ultimo punto della sequenza sia unito al primo. I lati consecutivi sono segmenti che condividono un vertice; gli altri sono chiamati lati non consecutivi. Tale sequenza di punti deve essere tale che gli unici punti di intersezione tra i segmenti si trovino ai vertici di segmenti consecutivi. La figura mostra due esempi di poligoni semplici e un esempio che non è un poligono semplice.
a) Disegnare un poligono semplice con i lati e una linea che non contiene alcuna vertice ma taglia dei suoi lati.
b) Indicare se è possibile disegnare un poligono semplice con lati e una linea che non contiene vertici e taglia i lati del poligono. Se possibile, mostralo con un disegno. Se no, spiegate il motivo.
c) Considerare un poligono semplice con lati . Spiega perché non è possibile disegnare una linea che taglia esattamente i lati di questo poligono senza passare attraverso uno dei suoi vertici.
d) Rendere uno sketch di un poligono semplice con lati e linee in modo tale che queste linee non passino attraverso nessun vertice e il numero di lati tagliati da queste linee sia distinto.