Olimpíada Brasileira de Matemática 2020 — Nível 2 — Fase x

Find angle BFC in right triangle with bisector and perpendicular conditions

Let $ABC$ be a right triangle and $D$ a point on $BC$ such that $AD\perp BC$. The bisector of angle $\angle DAC$ meets segment $DC$ at $E$. Let $F$ be the point on line $AE$ such that $BF\perp AE$. Given that $\angle BAE=45^{\circ }$, find the measure of $\angle BFC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare angolo BFC in triangolo rettangolo con condizioni bisettori e perpendicolari

$ABC$ sia un triangolo rettangolo e $D$ un punto su $BC$ tale che $AD\perp BC$. Il bisettore di angolo $\angle DAC$ incontra il segmento $DC$ a $E$. $F$ sia il punto della linea $AE$ in modo tale che $BF\perp AE$. Dato che $\angle BAE=45^{\circ }$, trovare la misura di $\angle BFC$.

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Find all equations on a blackboard where erased digits give two integer solutions

On a blackboard the following text is found:

$x^2-824x+■43=0\text{ has two integer solutions.}$

Here $■$ represents some number of digits that have been erased from the blackboard. What are all the possible equations that were originally written on the blackboard?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le equazioni su una lavagna dove le cifre cancellate danno due soluzioni integrali

Su una lavagna si trova il seguente testo:

$x^2-824x+■43=0\text{ has two integer solutions.}$

Qui $■$ rappresenta un certo numero di cifre che sono state cancellate dalla lavagna. Quali sono tutte le possibili equazioni che sono state originariamente scritte sulla lavagna?

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Find smallest x_1 so that an infinite integer sequence contains 2020

Consider an infinite sequence $x_1,x_2,\dots$ of positive integers such that, for every integer $n\ge 1$:

\begin{itemize} \item If $x_n$ is even, then $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}$. \item If $x_n$ is odd, then $x_{n+1}=\frac{x_n-1}{2}+2^{k-1}$, where $k$ is the integer such that $2^{k-1}\le x_n<2^k$. \end{itemize}

Find the smallest possible value of $x_1$ for which the sequence contains some term equal to $2020$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Backward, Invarianti, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova il più piccolo x_1 in modo che una sequenza di numeri interi infiniti contenga 2020

Considera una sequenza infinita $x_1,x_2,\dots$ di interi positivi tale che, per ogni intero $n\ge 1$:

\begin{itemize} \item Se $x_n$ è pari, allora $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}$. \item Se $x_n$ è pari, allora $x_{n+1}=\frac{x_n-1}{2}+2^{k-1}$, dove $k$ è il numero intero tale che $2^{k-1}\le x_n<2^k$. # Finire #

Trova il minimo valore possibile di $x_1$ per il quale la sequenza contiene un termine pari a $2020$.

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Count 4-digit supercylindrical numbers

A positive integer is called \textit{cylindrical} if its first and last decimal digits are equal and both are nonzero. For example, $4$ and $4104$ are cylindrical (since their first and last digits are equal and nonzero), but $10$ is not cylindrical since its last digit is $0$.

A positive integer is called \textit{supercylindrical} if it can be written as the sum of two cylindrical numbers. For example, $101=99+2$ and $22=11+11$ are supercylindrical, but $561=484+77$ is not supercylindrical since $484$ is not cylindrical.

How many $4$-digit numbers are supercylindrical?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri supercilindrici a 4 cifre

Un intero positivo è chiamato \textit{cilindrico} se le sue prime e ultime cifre decimali sono uguali e entrambi non sono zero. Ad esempio, $4$ e $4104$ sono cilindrici (dal momento che le loro prime e ultime cifre sono uguali e non zero), ma $10$ non è cilindrica dal momento che la sua ultima cifra è $0$.

Un intero positivo si chiama \textit{supercilindrico} se può essere scritto come la somma di due numeri cilindrici. Ad esempio, $101=99+2$ e $22=11+11$ sono supercilindrici, ma $561=484+77$ non è supercilindrico poiché $484$ non è cilindrico.

Quanti numeri $4$ sono supercilindrici?

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Prove angle equality using circumcircles of two triangles in acute triangle

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$. Let $M$ be the midpoint of $AB$ and $K\ne C$ the second intersection point of the circumcircles of triangles $ACK$ and $OMB$. The lines $CK$ and $OM$ meet at $P$. Prove that $\angle KAP=\angle MCB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove l’eguaglianza angolare utilizzando circoli di due triangoli in un triangolo acuto

$ABC$ sia un triangolo acuto con il centro circundante $O$. Il $M$ è il punto medio del $AB$ e $K\ne C$ il secondo punto di intersezione dei circoncircoli dei triangoli $ACK$ e $OMB$. Le linee $CK$ e $OM$ si incontrano a $P$. Prova che $\angle KAP=\angle MCB$.

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Find k for which Arnaldo wins a 2020x2020 coloring board game

Let $k$ be a positive integer. Arnaldo and Bernaldo play a game on a $2020\times 2020$ board. Initially all cells of the board are empty. A move consists of choosing an empty cell and placing either a blue or a red token on it. Bernaldo wins if at any moment there exist $k$ consecutive cells in the same row or column all filled with tokens of the same color. Arnaldo goes first, and from then on the players alternate. Arnaldo wins if at some point the entire board is filled without Bernaldo winning.

Find all values of $k$ for which Arnaldo has a winning strategy.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova il k per il quale Arnaldo vince un gioco da tavolo a colori 2020x2020

$k$ sia un numero intero positivo. Arnaldo e Bernaldo giocano su una tavola $2020\times 2020$. Inizialmente tutte le celle della lavagna sono vuote. Una mossa consiste nel scegliere una cella vuota e metterci un token blu o rosso. Bernaldo vince se in qualsiasi momento esistono $k$ celle consecutive nella stessa riga o colonna tutte piene di gettoni dello stesso colore. Arnaldo è il primo, e da allora i giocatori si alternano. Arnaldo vince se a un certo punto l’intero tavolo viene riempito senza che Bernaldo vinca.

Trova tutti i valori di $k$ per i quali Arnaldo ha una strategia vincente.

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