Olimpíada Brasileira de Matemática 2020 — Nível 3 — Fase x

Existence of positive integers making a weighted reciprocal sum equal 1

Prove that there exist positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_{2020}$ such that $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{2a_2}+\frac{1}{3a_3}+\cdots +\frac{1}{2020a_{2020}}=1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di integri positivi che rendono una somma reciproca ponderata uguale a 1

Prove che esistono integri positivi $a_1,a_2,\dots ,a_{2020}$ tali che $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{2a_2}+\frac{1}{3a_3}+\cdots +\frac{1}{2020a_{2020}}=1.$

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Fibonacci-like integer sequence: infinitely many integers are non-fibonacciano

For a positive integer $n$, define $F_n^{(0)}=n$, $F_n^{(1)}=n$ and, for $p>2$: $F_n^{(p)}=F_n^{(p-1)}+F_{n+1}^{(p-1)}.$ A positive integer $a$ is called fibonacciano if $F_a^{(p)}=a$ for some positive integer $p$ and some $n>3$. Prove that there exist infinitely many positive integers that are not fibonacciano.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi simili a Fibonacci: infinitamente molti numeri interi non sono Fibonacciano

Per un intero positivo $n$, definire $F_n^{(0)}=n$, $F_n^{(1)}=n$ e, per $p>2$: $F_n^{(p)}=F_n^{(p-1)}+F_{n+1}^{(p-1)}.$ Un intero positivo $a$ si chiama fibonacciano se $F_a^{(p)}=a$ per un intero positivo $p$ e per un certo $n>3$. Prove che esistono infiniti interi positivi che non sono fibonacciani.

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Mixtilinear circles in a triangle: common tangents concurrent and isogonal conjugates

Let $r_A$, $r_B$, $r_C$ be the mixtilinear inradii of triangle $XYZ$ centered at $P$ in the interior of the triangle. The circle ${\omega }_A$ (center $X$) is internally tangent to $r_B{r}_C$; the circle ${\omega }_B$ (center $Y$) is internally tangent to $r_C{r}_A$; and the circle ${\omega }_C$ (center $Z$) is internally tangent to $r_A{r}_B$. The point $P$ lies in the interior of triangle $XYZ$ such that the lines $r_A$, $r_B$, $r_C$ are the common internal tangents to the corresponding pairs of circles. Let $s_A$ be the line internally tangent to ${\omega }_B$ and ${\omega }_C$ that does not contain $r_A$; let $s_B$ be the line internally tangent to ${\omega }_A$ and ${\omega }_C$ that does not contain $r_B$; let $s_C$ be the line internally tangent to ${\omega }_A$ and ${\omega }_B$ that does not contain $r_C$. Prove that $s_A$, $s_B$, and $s_C$ meet at a common point $Q$, and that $P$ and $Q$ are isogonal conjugates in triangle $XYZ$ — that is, the lines $XP$ and $XQ$ are symmetric with respect to the angle bisector of $\angle YXZ$, and similarly for vertices $Y$ and $Z$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli mista lineari in un triangolo: tangenti comuni coniugati simultanei e isogonali

Che $r_A$, $r_B$, $r_C$ siano le radici mistilineari del triangolo $XYZ$ centrato a $P$ all’interno del triangolo. Il cerchio ${\omega }_A$ (centro $X$) è interno tangente a $r_B{r}_C$; il cerchio ${\omega }_B$ (centro $Y$) è interno tangente a $r_C{r}_A$; e il cerchio ${\omega }_C$ (centro $Z$) è interno tangente a $r_A{r}_B$. Il punto $P$ si trova all’interno del triangolo $XYZ$ in modo tale che le linee $r_A$, $r_B$, $r_C$ siano le tangenti interne comuni delle coppie di cerchi corrispondenti. La linea $s_A$ deve essere la linea interna tangente a ${\omega }_B$ e ${\omega }_C$ che non contiene $r_A$; la linea $s_B$ deve essere la linea interna tangente a ${\omega }_A$ e ${\omega }_C$ che non contiene $r_B$; la linea $s_C$ deve essere la linea interna tangente a ${\omega }_A$ e ${\omega }_B$ che non contiene $r_C$. Prove che $s_A$, $s_B$ e $s_C$ si incontrano in un punto comune $Q$, e che $P$ e $Q$ sono coniugati isogonali in triangolo $XYZ$ , cioè che le linee $XP$ e $XQ$ sono simmetriche rispetto al bisettore angolare di $\angle YXZ$, e allo stesso modo per i vertici $Y$ e $Z$.

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Excircles touch points: perpendiculars to sides are concurrent

Let $ABC$ be a triangle. The excircles (each tangent to one side and the extensions of the other two sides) touch sides $BC$, $CA$, and $AB$ at the points $U$, $V$, and $W$, respectively. Let $r_u$ be the line through $U$ perpendicular to $BC$, $r_v$ the line through $V$ perpendicular to $CA$, and $r_w$ the line through $W$ perpendicular to $AB$. Prove that the lines $r_u$, $r_v$, and $r_w$ pass through a common point.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Excircles touch points: le perpendicolari ai lati sono simultanee

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Gli escircoli (ciascuno tangente ad un lato e le estensioni degli altri due lati) toccano i lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente ai punti $U$, $V$ e $W$. Il $r_u$ deve essere la linea attraverso $U$ perpendicolare a $BC$, $r_v$ la linea attraverso $V$ perpendicolare a $CA$ e $r_w$ la linea attraverso $W$ perpendicolare a $AB$. Provare che le linee $r_u$, $r_v$ e $r_w$ passano attraverso un punto comune.

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Parity questions to identify truth-tellers in a group of n people

Let $n$ and $k$ be positive integers with $k\le n$. In a group of $n$ people, each person either always tells the truth or always lies. Arnaldo may ask questions of any of these people of the following type: given a subset $A$ of size $k$ of the group, “what is the parity of the number of truth-tellers in $A$?” The answer can only be “even” (par) or “odd” (ímpar).

(a) (4 points) For which values of $n$ and $k$ is it possible to determine, for each person, whether they always tell the truth or always lie?

(b) (6 points) What is the minimum number of questions necessary to make this determination, when it is possible?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Invarianti, Doppio conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Questioni di parità per identificare chi dice la verità in un gruppo di persone n

Lasciate che $n$ e $k$ siano integri positivi con $k\le n$. In un gruppo di persone $n$, ogni persona dice sempre la verità o mente sempre. Arnaldo può porre domande a una di queste persone del tipo seguente: dato un sottoinsieme $A$ di dimensioni $k$ del gruppo, “qual è la parità del numero di vertitori di verità in $A$?” La risposta può essere solo “par” (par) o “odd” (ímpar).

(a) (4 punti) Per quali valori di $n$ e $k$ è possibile determinare, per ciascuna persona, se dice sempre la verità o mente sempre?

(b) (6 punti) Qual è il numero minimo di domande necessario per fare questa determinazione, quando è possibile?

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Iterates of f(x)=2x^2+x-1: real fixed points and real zeros

Let $f(x)=2x^2+x-1$. Define $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$ for all real $x$ and $n\ge 0$ (that is, $f^n$ is the $n$-th iterate of $f$).

(a) (2 points) Determine the number of distinct real solutions of the equation $f^1(x)=x$.

(b) (8 points) Determine, for each non-negative integer $n$, the number of distinct real solutions of the equation $f^n(x)=0$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Iterati di f(x)=2x^2+x-1: punti fissi reali e zeri reali

Let $f(x)=2x^2+x-1$. Definire $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$ per tutti i $x$ reali e $n\ge 0$ (cioè $f^n$ è la $n$-th iterazione di $f$).

(a) (2 punti) Determinare il numero di soluzioni reali distinte dell’equazione $f^1(x)=x$.

b) (8 punti) Determinare, per ogni intero non negativo $n$, il numero di soluzioni reali distinte dell’equazione $f^n(x)=0$.

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