Olimpíada Brasileira de Matemática 2020 — Nível Universitário — Fase x

Limit of average of n(k) over R^{1/2} as R tends to infinity

For $R>0$ an integer, let $n(R)$ denote the number of triples $(x,y,z)\in {\mathbb{Z}}^3$ such that $2x^2+3y^2+5z^2=R$. Find the value of ${\lim }_{R\to +\infty }\frac{n(1)+n(2)+\cdots +n(R)}{R^{1/2}}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Limita della media di n(k) su R^{1/2} in quanto R tende all’infinito

Per $R>0$ un numero intero, $n(R)$ indica il numero di triples $(x,y,z)\in {\mathbb{Z}}^3$ tale che $2x^2+3y^2+5z^2=R$. Trova il valore di ${\lim }_{R\to +\infty }\frac{n(1)+n(2)+\cdots +n(R)}{R^{1/2}}.$

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Infinitely many non-Fibonacci positive integers exist

For $a$ a positive integer, define $F_1^{(a)}=1$, $F_2^{(a)}=a$, and for $n>2$, $F_n^{(a)}=F_{n-1}^{(a)}+F_{n-2}^{(a)}$. A positive integer is called fibonatic if it equals $F_n^{(a)}$ for some positive integer $a$ and some $n>3$. Prove that there exist infinitely many positive integers that are not fibonatic.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Esistono infiniti interi positivi non di Fibonacci

Per $a$ un intero positivo, definire $F_1^{(a)}=1$, $F_2^{(a)}=a$, e per $n>2$, $F_n^{(a)}=F_{n-1}^{(a)}+F_{n-2}^{(a)}$. Un intero positivo è chiamato fibonatico se equivale a $F_n^{(a)}$ per un intero positivo $a$ e per un certo $n>3$. Prove che esistono infinitamente molti interi positivi che non sono fibonatici.

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Count 5x5 matrices over F_{13} satisfying A^5 = I

Let ${\mathbb{F}}_{13}=\{\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{12}\}$ be the finite field with 13 elements (with addition and multiplication modulo 13). Determine the number of $5\times 5$ matrices $A$ with entries in ${\mathbb{F}}_{13}$ such that $A^5=I,$ where $I$ denotes the $5\times 5$ identity matrix.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare matrici 5x5 su F_{13} soddisfacente A^5 = I

${\mathbb{F}}_{13}=\{\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{12}\}$ sia il campo finito con 13 elementi (con modulo di somma e moltiplicazione 13). Determinare il numero di matrici $5\times 5$ $A$ con voci in ${\mathbb{F}}_{13}$ in modo tale che $A^5=I,$ in cui $I$ denota la matrice di identità $5\times 5$.

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Prove/disprove every real 2x2 and 3x3 matrix is sum of two squares

For each item, prove or give a counterexample.

(a) (5 points) Every real $2\times 2$ matrix can be written as the sum of the squares of two real $2\times 2$ matrices.

(b) (5 points) Every real $3\times 3$ matrix can be written as the sum of the squares of two real $3\times 3$ matrices.

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove/disprove ogni vera matrice 2x2 e 3x3 è la somma di due quadrati

Per ciascun elemento, dimostrare o fornire un controesempio.

(a) (5 punti) Ogni matrice $2\times 2$ reale può essere scritta come la somma dei quadrati di due matrici $2\times 2$ reali.

b) (5 punti) Ogni matrice $3\times 3$ reale può essere scritta come la somma dei quadrati di due matrici $3\times 3$ reali.

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Game on spaceship: show 2n people can be split into n friendly pairs

Let $n$ be a positive integer. On a space ship there are $2n$ people, and any two of them are either friends or enemies (the relation is symmetric). Two aliens play the following game: alternately, each player chooses one person per turn, such that the person chosen each turn is a friend of the person chosen on the immediately preceding turn (in the first turn, the first player may choose anyone). Whoever cannot play loses (a person may only be chosen once). Prove that the second player has a winning strategy if and only if the $2n$ people can be partitioned into $n$ pairs such that both members of each pair are friends.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Invarianti, Biiezione Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco sulla nave spaziale: mostra 2n persone possono essere suddivise in n coppie amichevoli

$n$ sia un numero intero positivo. Su una nave spaziale ci sono $2n$ persone, e qualsiasi due di loro sono amici o nemici (la relazione è simmetrica). Due alieni giocano il seguente gioco: alternativamente, ogni giocatore sceglie una persona per turno, in modo che la persona scelta ogni turno è un amico della persona scelta sulla volta immediatamente precedente (nel primo turno, il primo giocatore può scegliere chiunque). Chi non può giocare perde (una persona può essere scelto solo una volta). Prove che il secondo giocatore ha una strategia vincente se e solo se le persone $2n$ possono essere suddivise in coppie $n$ in modo tale che entrambi i membri di ciascuna coppia siano amici.

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Count real solutions of iterated f for f(x)=2x^2+x-1

Let $f(x)=2x^2+x-1$, $f^1(x)=x$ and $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$ for all real $x$ and all $n\ge 0$ (i.e., $f^n$ is the $n$-th iterate of $f$).

(a) (2 points) Determine the number of distinct real solutions of the equation $f^2(x)=x$.

(b) (8 points) Determine, for each $n\ge 0$ integer, the number of distinct real solutions of the equation $f^n(x)=0$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare le soluzioni reali di f iterato per f(x)=2x^2+x-1

Per tutti i $x$ reali $f(x)=2x^2+x-1$, $f^1(x)=x$ e $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$ e per tutti i $n\ge 0$ (cioè $f^n$ è la $n$-th iterazione di $f$).

(a) (2 punti) Determinare il numero di soluzioni reali distinte dell’equazione $f^2(x)=x$.

b) (8 punti) Determinare, per ogni numero intero $n\ge 0$, il numero di soluzioni reali distinte dell’equazione $f^n(x)=0$.

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