Olimpíada Brasileira de Matemática 2021 — Nível 2 — Fase x

Length (lonjura) defined by iterating the divisor-count operation until reaching 2; count numbers of length 2 and the maximal length in 3..1000

A mathematician is having fun with natural numbers and their positive divisors. For each positive integer $n$, he carries out the following sequence of operations: he computes the number of positive divisors of $n$, then, from the number obtained, he again computes its number of positive divisors, and so on successively, until he finally obtains the number $2$, at which point he stops. The lonjura of $n$ is defined as the number of operations needed to obtain the number $2$. Note that one always ends up at $2$.

For example, the lonjura of $12$ is $4$, since $12$ has $6$ positive divisors $\{1,2,3,4,6,12\}$, $6$ has $4$ divisors $\{1,2,3,6\}$, $4$ has $3$ divisors $\{1,2,4\}$, and $3$ has $2$ divisors $\{1,3\}$. Note also that $6$ has lonjura $3$, $4$ has lonjura $2$, and $3$ has lonjura $1$.

(a) How many numbers from $3$ to $1000$ have lonjura $2$?

(b) What is the greatest possible lonjura among the numbers from $3$ to $1000$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lunghezza (lonjura) definita iterando l’operazione di conteggio divisore fino a raggiungere 2; numeri di conteggio di lunghezza 2 e la lunghezza massima in 3..1000

Un matematico si diverte con i numeri naturali e i loro divisori positivi. Per ogni intero positivo $n$, esegue la seguente sequenza di operazioni: calcola il numero di divisori positivi di $n$, quindi, dal numero ottenuto, calcola di nuovo il suo numero di divisori positivi, e così via successivamente, fino a ottenere finalmente il numero $2$, punto in cui si ferma. Il lonjura di $n$ è definito come il numero di operazioni necessarie per ottenere il numero $2$. Si noti che uno finisce sempre a $2$.

Ad esempio, la lonjura di $12$ è $4$, poiché $12$ ha $6$ divisori positivi $\{1,2,3,4,6,12\}$, $6$ ha $4$ divisori $\{1,2,3,6\}$, $4$ ha $3$ divisori $\{1,2,4\}$, e $3$ ha $2$ divisori $\{1,3\}$. Si noti inoltre che $6$ ha lonjura $3$, $4$ ha lonjura $2$ e $3$ ha lonjura $1$.

(a) Quanti numeri da $3$ a $1000$ hanno lonjura $2$?

b) Qual è la maggiore lonjura possibile tra i numeri da $3$ a $1000$?

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Acute triangle; A_1 is the midpoint of the major arc BC, A_2,A_3 feet of perpendiculars onto AB,AC; prove A_2A_3 bisects BC and that the three analogous lines are concurrent

Let $ABC$ be an acute triangle. Define $A_1$ as the midpoint of the major arc $BC$ of the circumcircle of $ABC$. Let $A_2$ and $A_3$ be the feet of the perpendiculars from $A_1$ onto the lines $AB$ and $AC$, respectively. Define $B_1$, $B_2$, $B_3$ and $C_1$, $C_2$, $C_3$ analogously.

(a) Prove that $A_2{A}_3$ bisects $BC$.

(b) Show that the lines $A_2{A}_3$, $B_2{B}_3$ and $C_2{C}_3$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto; A_1 è il punto medio dell’arco principale BC, A_2,A_3 piedi di perpendicolari su AB,AC; dimostrare A_2A_3 bisecte BC e che le tre linee analoghe sono simultanee

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo acuto. Definire $A_1$ come il punto medio dell’arco principale $BC$ del circoncircolo di $ABC$. I piedi $A_2$ e $A_3$ devono essere i piedi delle perpendicolari da $A_1$ alle linee $AB$ e $AC$, rispettivamente. Definire analogamente $B_1$, $B_2$, $B_3$ e $C_1$, $C_2$, $C_3$.

(a) dimostrare che $A_2{A}_3$ divide $BC$.

b) Indicare che le righe $A_2{A}_3$, $B_2{B}_3$ e $C_2{C}_3$ sono simultanee.

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Round-robin with 2021 teams, 3/1/0 scoring; top two play the final, OBM has the tiebreak advantage and won its first match. Find the minimum final score giving a chance at the final

In a football championship with $2021$ teams, the teams play against each other, all of them playing exactly once against each of the others. At the end of each match, in case of a draw, each team earns $1$ point; otherwise, the winner of the match earns $3$ points and the loser $0$ points. At the end of the championship, the two teams with the highest scores dispute the final. In case of a tie in points, the result of the first match played between them decides who has the advantage; that is, in any tie in final points the head-to-head winner has the advantage. The OBM Football Club won its first match, and it is known that, being the champion of the previous edition, it takes the advantage in any tie in final points. What is the minimum final score so that the OBM Football Club has some chance of reaching the final?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Round-robin con le squadre del 2021, 3/1/0 segnando; i primi due giocano la finale, l’OBM ha il vantaggio del tiebreak e ha vinto la sua prima partita. Trova il punteggio finale minimo che dà una possibilità alla finale

In un campionato di calcio con squadre $2021$, le squadre giocano l’una contro l’altra, tutte giocando esattamente una volta contro ciascuna delle altre. Alla fine di ogni partita, in caso di pareggio, ogni squadra guadagna $1$ punti; altrimenti, il vincitore della partita guadagna $3$ punti e il perdente $0$ punti. Alla fine del campionato, le due squadre con i punteggi più alti disputano la finale. In caso di parità di punti, il risultato della prima partita giocata tra loro decide chi ha il vantaggio; cioè, in qualsiasi parità di punti finali il vincitore testa a testa ha il vantaggio. Il club di calcio OBM ha vinto la sua prima partita, ed è noto che, essendo il campione della precedente edizione, si avvale di qualsiasi pareggio nei punti finali. Qual è il punteggio finale minimo per far sì che l’OBM Football Club abbia qualche possibilità di raggiungere la finale?

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Right triangle ABC (right angle at B) with inscribed square BDEF; incircles of CFE and EDA have radii c and b; inside the square two circles of radius b are tangent and two of radius a are tangent. Find a/c

In the figure below we have a triangle $ABC$, right-angled at $B$, and $BDEF$ is a square inscribed in this triangle. The circles inscribed in the triangles $CFE$ and $EDA$ have radii $c$ and $b$, respectively. Inside the square, two circles of radius $b$ and two circles of radius $a$ are drawn. The two circles of radius $b$ are tangent to each other and the two circles of radius $a$ are tangent to each other. Recall that when two circles are tangent, the center is collinear with the point of tangency.

Determine the ratio $\frac{a}{c}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto ABC (angolo retto a B) con BDEF quadrato inciso; incircoli di CFE ed EDA hanno radii c e b; all’interno del quadrato due cerchi di radio b sono tangenti e due di radio a sono tangenti. Trovare a/c

Nella figura di seguito abbiamo un triangolo $ABC$, angolato a destra a $B$, e $BDEF$ è un quadrato inciso in questo triangolo. I cerchi inseriti nei triangoli $CFE$ e $EDA$ hanno rispettivamente i raggi $c$ e $b$. All’interno del quadrato sono disegnati due cerchi di raggio $b$ e due cerchi di raggio $a$. I due cerchi di raggio $b$ sono tangenti tra loro e i due cerchi di raggio $a$ sono tangenti tra loro. Ricordate che quando due cerchi sono tangenti, il centro è collineare con il punto di tangenza.

Determinare il rapporto $\frac{a}{c}$.

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Triples (a,b,c) of positive integers with a|bc+1, b|ca+1, c|ab+1 (miranhas); determine all of them

A triple of positive integers $(a,b,c)$ is called miranha if:

$\bullet$ $a$ divides $bc+1$;

$\bullet$ $b$ divides $ca+1$;

$\bullet$ $c$ divides $ab+1$.

Determine all miranha triples.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Estremalità Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triplici (a,b,c) di numeri interi positivi con a) bbc+1, b) b) c) c) miranhas); determinare tutti

Un triplo di integri positivi $(a,b,c)$ è chiamato miranha se:

$\bullet$ $a$ divide $bc+1$;

$\bullet$ $b$ divide $ca+1$;

$\bullet$ $c$ divide $ab+1$.

Determina tutti i triplici miranaha.

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For real a>=1, A(a)={floor(na)}; suppose every positive integer not in A(a) leaves the same remainder r mod 2021. Find all possible a

Let $\alpha \ge 1$ be a real number. Consider the set $A(\alpha )=\{\lfloor n\alpha \rfloor \mid n\text{ a positive integer}\}=\{\lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 3\alpha \rfloor ,\lfloor 4\alpha \rfloor ,\dots \}.$

Suppose that all the positive integers that do not belong to the set $A(\alpha )$ leave exactly the same remainder $r$ upon division by $2021$, with $0\le r<2021$. Determine all the possible values of $\alpha$.

Observation: the symbol $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x$. For example, if $\alpha =\sqrt{3}$, since $\sqrt{3}=1,73\dots$ we have $\lfloor \sqrt{3}\rfloor =1$, $\lfloor 2\sqrt{3}\rfloor =3$, $\lfloor 3\sqrt{3}\rfloor =5$, $\lfloor 4\sqrt{3}\rfloor =6$ and so on. In this case $A(\alpha )=\{1,3,5,6,\dots \}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per il reale a>=1, A(a)={floor(na)}; supponiamo che ogni intero positivo non in A(a) lasci lo stesso rimanente r mod 2021. Trova tutte le possibili a

$\alpha \ge 1$ sia un numero reale. Considera l’insieme $A(\alpha )=\{\lfloor n\alpha \rfloor \mid n\text{ a positive integer}\}=\{\lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 3\alpha \rfloor ,\lfloor 4\alpha \rfloor ,\dots \}.$

Supponiamo che tutti i numeri interi positivi che non appartengono all’insieme $A(\alpha )$ lasciano esattamente lo stesso rimanente $r$ quando viene diviso da $2021$, con $0\le r<2021$. Determinare tutti i possibili valori di $\alpha$.

*Osservazione: * il simbolo $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Per esempio, se $\alpha =\sqrt{3}$, da $\sqrt{3}=1,73\dots$ abbiamo $\lfloor \sqrt{3}\rfloor =1$, $\lfloor 2\sqrt{3}\rfloor =3$, $\lfloor 3\sqrt{3}\rfloor =5$, $\lfloor 4\sqrt{3}\rfloor =6$ e così via. In questo caso $A(\alpha )=\{1,3,5,6,\dots \}$.

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