Olimpíada Brasileira de Matemática 2021 — Nível 3 — Fase x

Four circumcenters of subtriangles of convex quadrilateral are concyclic

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral in the plane, and let $O_1,O_2,O_3,O_4$ be the circumcenters of triangles $BCD$, $CDA$, $DAB$, and $ABC$, respectively. Suppose that these four circumcenters are pairwise distinct. Prove that these four points lie on a common circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro circoncenti di subtriangoli di quadrilaterali convexi sono conciclici

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale converso nel piano e che $O_1,O_2,O_3,O_4$ siano rispettivamente i circoncenti dei triangoli $BCD$, $CDA$, $DAB$ e $ABC$. Supponiamo che questi quattro circoncentri siano separati in coppia. Prove che questi quattro punti si trovano su un cerchio comune.

src_obm_2021_n3_fx__Q01

Max marked cells in 2×3n board with adjacency constraint; count configurations

Let $n$ be a positive integer. On a $2\times 3n$ board, we mark some cells so that every cell (marked or not) is adjacent to at most two other distinct marked cells. Two cells are adjacent when they are distinct and share at least one vertex in common (i.e., they are neighbors horizontally, vertically, or diagonally); a cell is not adjacent to itself.

(a) What is the maximum possible number of marked cells?

(b) For this maximum, in how many ways can we mark the cells? Distinct configurations that can be obtained from one another by rotation or reflection are considered the same.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Max cellule marcate in tabella 2×3n con restrizione di adiacenza; configurazioni di conteggio

$n$ sia un numero intero positivo. Su una tabella $2\times 3n$, segniamo alcune celle in modo che ogni cella (segnalata o meno) sia adiacente ad un massimo di altre due celle segnalate distinte. Due cellule sono adiacenti quando sono distinte e condividono almeno un vertice in comune (cioè sono vicine orizzontalmente, verticalmente o diagonalmente); una cellula non è adiacente a se stessa.

a) Qual è il numero massimo possibile di cellule contrassegnate?

(b) Per questo massimo, in quanti modi possiamo contrassegnare le cellule? Le configurazioni distinte che possono essere ottenute l’una dall’altra mediante rotazione o riflessione sono considerate le stesse.

src_obm_2021_n3_fx__Q02

Find all positive k and irrational a>1 such that floor(a^n) is perfect square minus k for all large n

Find all positive integers $k$ for which there exists an irrational number $a>1$ and a positive integer $N$ such that $\lfloor a^n\rfloor$ is a perfect square minus $k$, for every integer $n$ with $n>N$.

Observation: $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti i k positivi e irrationali a>1 in modo che il piano a^n) sia il quadrato perfetto meno k per tutti i grandi n

Trova tutti gli integri positivi $k$ per i quali esiste un numero irrazionale $a>1$ e un intero positivo $N$ in modo tale che $\lfloor a^n\rfloor$ sia un quadrato perfetto meno $k$, per ogni intero $n$ con $n>N$.

*Osservazione: * $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.

src_obm_2021_n3_fx__Q03

Find smallest real belonging to every framed (bounded, closed under (a-b)^2) set

A set $X$ of real numbers, finite or infinite, is called bounded when there exists a real $M$ such that $|x|\le M$ for all $x\in X$. For example, $A=[-3,n]$ and $B=\{2^k:k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}\}=\{1,2,4,8,\dots \}$ are bounded (taking $M\ge n$ and $M\ge 1$, respectively). On the other hand, $C=\mathbb{Z}$ and $D={\mathbb{R}}_{\ge 0}$ are not bounded.

A set $A$ of real numbers is called framed when it is bounded and, for all distinct $a,b\in A$, we have $(a-b{)}^2\in A$.

What is the smallest real number that belongs to every framed set?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il più piccolo reale appartenente a ogni set framed (limitato, chiuso sotto (a-b) ^2)

Un insieme $X$ di numeri reali, finiti o infiniti, si chiama limitato quando esiste un $M$ reale tale che $|x|\le M$ per tutti $x\in X$. Ad esempio, $A=[-3,n]$ e $B=\{2^k:k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}\}=\{1,2,4,8,\dots \}$ sono limitati (prendendo $M\ge n$ e $M\ge 1$, rispettivamente). D’altra parte, $C=\mathbb{Z}$ e $D={\mathbb{R}}_{\ge 0}$ non sono dilimitati.

Un insieme $A$ di numeri reali viene chiamato framed quando è limitato e, per tutti i diversi $a,b\in A$, abbiamo $(a-b{)}^2\in A$.

Qual è il numero reale più piccolo che appartiene a ogni insieme framed?

src_obm_2021_n3_fx__Q04

Find all triples of non-negative integers satisfying a²+b²+c²=abc+1

Determine all triples of non-negative integers $(a,b,c)$ such that $a^2+b^2+c^2=abc+1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i triples di enti interi non negativi che soddisfano a2+b2+c2=abc+1

Determinare tutti i triples di integri non negativi $(a,b,c)$ in modo tale che $a^2+b^2+c^2=abc+1.$

src_obm_2021_n3_fx__Q05

Bicentric n-gon: circle tangent to circumcircles of semicircle-intersection triangles

Let $n\ge 5$ be an integer. The polygon $P=A_1{A}_2\cdots A_n$ is bicentric, that is, it has both an inscribed circle and a circumscribed circle. Define $A_{i+n}=A_i$ for all $i$ (all indices are taken modulo $n$). Suppose that for each $i$, $1\le i\le n$, the semicircles on segments $A_{i-1}{A}_i$ and $A_i{A}_{i+1}$ (as diameters, drawn on the same side) meet at the point $B_i$. Let ${\omega }_i$ be the circumcircle of triangle $B_i{A}_i{A}_{i+1}$. Prove that there exists a circle tangent simultaneously to all $n$ circles ${\omega }_i$, $1\le i\le n$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

N-gon bicentrico: cerchio tangente ai circoncircoli dei triangoli di intersezione semicircolare

$n\ge 5$ sia un numero intero. Il poligono $P=A_1{A}_2\cdots A_n$ è bicentrico, cioè ha sia un cerchio inciso che un cerchio circonscritto. Definire $A_{i+n}=A_i$ per tutti $i$ (tutti gli indici sono presi modulo $n$). Supponiamo che per ogni $i$, $1\le i\le n$, i semicircoli sui segmenti $A_{i-1}{A}_i$ e $A_i{A}_{i+1}$ (come diametri, disegnati sullo stesso lato) si incontrino al punto $B_i$. ${\omega }_i$ sia il circoncircolo del triangolo $B_i{A}_i{A}_{i+1}$. Prova che esiste un cerchio tangente contemporaneamente a tutti i cerchi $n$ ${\omega }_i$, $1\le i\le n$.

src_obm_2021_n3_fx__Q06