Olimpíada Brasileira de Matemática 2021 — Nível Universitário — Fase x

Circulant 3x3 matrices with det=1: rational entries infinite, integer entries finite

Consider matrices of the form $M=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right)\text{with}\det M=1.$ Prove that:

(a) There are infinitely many matrices of the above form with all entries $a,b,c$ rational.

(b) There are only finitely many matrices of the above form with all entries $a,b,c$ integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Matrici 3x3 circolanti con det=1: entrate razionali infinite, entrate interi finite

Considera le matrici del modulo $M=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right)\text{with}\det M=1.$ Prove che:

(a) Ci sono infinite matrici della forma di cui sopra con tutte le voci $a,b,c$ razionali.

b) Ci sono solo finitamente molte matrici della forma di cui sopra con tutti i numeri interi $a,b,c$.

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Find all C² functions satisfying f(t)²=f(t√2) for all real t

Determine all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ of class $C^2$ (that is, $f$ is twice differentiable with continuous second derivative) such that $f(t{)}^2=f(t\sqrt{2})$ for every real $t$.

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni C2 che soddisfano f(t)2=f(t√2) per tutte le t reali

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ della classe $C^2$ (cioè $f$ è doppio differenziabile con la seconda derivata continua) in modo tale che $f(t{)}^2=f(t\sqrt{2})$ per ogni reale $t$.

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Find all positive integers k for which floor(α^n) = m²−k for all large n

Find all positive integers $k$ for which there exist an irrational number $\alpha >1$ and a positive integer $N$ such that $\lfloor {\alpha }^n\rfloor$ is of the form $m^2-k$ for some integer $m$, for every integer $n>N$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi k per il quale piano ((α^n) = m2−k per tutti i grandi n

Trova tutti i numeri interi positivi $k$ per i quali esiste un numero irrazionale $\alpha >1$ e un intero positivo $N$ tale che $\lfloor {\alpha }^n\rfloor$ sia di forma $m^2-k$ per un certo numero intero $m$, per ogni numero intero $n>N$.

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For n>1 let k(n) be the max perfect-power exponent; find limit of Cesaro mean

For each integer $n>1$, let $k(n)$ be the largest positive integer $k$ such that $n=m^k$ for some positive integer $m$. Determine ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{j=2}^{n}k(j).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Telescoping Abilita: Stima, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per n>1 lasciamo k(n) essere l’esponente massimo di potenza perfetta; trovare il limite della media di Cesaro

Per ogni intero $n>1$, $k(n)$ sia il più grande intero positivo $k$ tale che $n=m^k$ per un intero positivo $m$. Determinazione ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{j=2}^{n}k(j).$

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Characterize all real triples that are eigenvalues of a 3×3 non-negative matrix

Determine all triples $({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)\in {\mathbb{R}}^3$ such that there exists a $3\times 3$ matrix $A_{3\times 3}$ with non-negative real entries whose eigenvalues are ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Caracterizzare tutti i tripli reali che sono valori propri di una matrice non negativa 3×3

Determinare tutti i tripli $({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)\in {\mathbb{R}}^3$ in modo tale che esista una matrice $3\times 3$ $A_{3\times 3}$ con entrate reali non negative i cui valori propri sono ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$.

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Recursively defined bacana word pairs; prove (α,β) bacana iff αβ is palindrome

We recursively define bacana pairs of words $(\alpha ,\beta )$ over the alphabet $\{a,b\}$ as follows: $(\alpha ,\beta )$ is a bacana pair if and only if there exists a bacana pair $(u,w)$ such that $(\alpha ,\beta )=(u,w)$ or $(\alpha ,\beta )=(w,u)$; or there exist $c_i\in \{a,b\}$ for all $i$, and a positive integer $n$, such that $\alpha =c_1{c}_2\dots c_n$ with $c_{n+1-j}=c_j$ for all $1\le j\le n$.

We say a word $c_1{c}_2\dots c_n$ with $c_i\in \{a,b\}$ is a palindrome if $c_{n+1-j}=c_j$ for all $1\le j\le n$.

Prove that $(\alpha ,\beta )$ is a bacana pair if and only if the concatenation $\alpha \beta$ is a palindrome.

Remark: We agree that the empty word (with $0$ letters) is a palindrome. Given words $u=a_1{a}_2\dots a_i$ and $v=b_1{b}_2\dots b_j$, the symbol $uv$ denotes their concatenation $a_1{a}_2\dots a_i{b}_1{b}_2\dots b_j$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Parli di parole bacana definiti ricorrentemente; prove (α,β) bacana se αβ è palindromo

Difiniamo ricorrentemente bacana coppie di parole $(\alpha ,\beta )$ sull’alfabeto $\{a,b\}$ come segue: $(\alpha ,\beta )$ è una coppia di bacana se e solo se esiste una coppia di bacana $(u,w)$ tale che $(\alpha ,\beta )=(u,w)$ o $(\alpha ,\beta )=(w,u)$; oppure esiste $c_i\in \{a,b\}$ per tutti $i$, e un intero positivo $n$, tale che $\alpha =c_1{c}_2\dots c_n$ con $c_{n+1-j}=c_j$ per tutti $1\le j\le n$.

Diciamo che una parola $c_1{c}_2\dots c_n$ con $c_i\in \{a,b\}$ è un palindromo se $c_{n+1-j}=c_j$ per tutti $1\le j\le n$.

Prova che $(\alpha ,\beta )$ è una coppia di bacana se e solo se la concatenamento $\alpha \beta$ è un palindromo.

*Ricordo: * Siamo d’accordo che la parola vuota (con lettere $0$) è un palindromo. Se le parole $u=a_1{a}_2\dots a_i$ e $v=b_1{b}_2\dots b_j$ sono indicate, il simbolo $uv$ indica la loro concatenamento $a_1{a}_2\dots a_i{b}_1{b}_2\dots b_j$.

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