Olimpíada Brasileira de Matemática 2022 — Nível 1 — Fase x

Pyramid of same-size cubes: count base, painted faces

Janaína built a figure in the shape of a pyramid, as shown in the drawing below. The figure was made by gluing cubes of the same size. There is 1 cube in the first (top) layer, 3 cubes in the second, and 6 cubes in the third.

(a) How many cubes did she use in the base (fourth layer)? She painted all the faces of the figure, including the lateral faces and the bottom, because they do not appear in the drawing.

(b) How many cubes will have exactly 3 faces painted?

(c) How many cubes will have exactly 1 face painted?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Piramida di cubetti della stessa dimensione: base di conteggio, facce dipinte

Janaína costruì una figura a forma di piramide, come mostrato nel disegno di seguito. La figura è stata realizzata col colgendo cubetti della stessa dimensione. C’è 1 cubo nel primo (superiore) strato, 3 cubes nel secondo e 6 cubes nel terzo.

(a) Quanti cubetti ha usato nella base (quarto strato)? Ha dipinto tutti i volti della figura, comprese le facce laterali e il fondo, perché non appaiono nel disegno.

(b) Quanti cubetti avranno esattamente tre facce dipinte?

(c) Quanti cubetti avranno esattamente una faccia dipinta?

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Copeiro numbers: sum of squares of digits equals a power of 4

A positive integer is called copeiro if the sum of the squares of its digits in decimal representation is equal to a power of $4$. For example, $32111$ is a copeiro number of 5 digits, since $3^2+2^2+1^2+1^2+1^2=16=2^4$.

(a) Is there a 3-digit number such that the sum of the squares of its digits equals $4^4$? Do not forget that you must justify your answer.

(b) What are the two largest 3-digit copeiro numbers?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numeri di coppie: la somma dei quadrati di cifre è uguale a una potenza di 4

Un intero positivo è chiamato copeiro se la somma dei quadrati delle sue cifre in rappresentazione decimale è uguale a una potenza di $4$. Ad esempio, $32111$ è un numero di copeiro di 5 cifre, dal momento che $3^2+2^2+1^2+1^2+1^2=16=2^4$.

(a) Esiste un numero a tre cifre tale che la somma dei quadrati delle sue cifre sia uguale a $4^4$? Non dimenticare che devi giustificare la tua risposta.

b) Quali sono i due numeri più grandi di 3 cifre?

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Square midpoints inner square area; octagon cut into trapezoid angles

(a) Pedro built a square of side $2$ using four unit-side small squares. Connecting the midpoints of the sides of the larger square, Pedro built a highlighted square in the figure. Determine the area and the perimeter of the highlighted square.

(b) Pedro took a regular octagon $ABCDEFGH$ of side $1$. He cut it into $4$ parts and rearranged them to form the second figure. Note that the triangles $A_{1}B{E}_1$ and $A_{2}H{E}_2$ correspond to triangles $ABE$ and $AHE$, respectively.

Calculate the interior angles of trapezoid $BCDE$.

You may use the fact that each interior angle of a regular polygon with $n$ sides has measure $\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$.

(c) Explain why the points $B$, $A_1$, $A_2$ and $H$ lie on the same straight line in the second figure.

(d) Determine the length of segment $E_1{E}_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti medi quadrati area quadrata interna; ottagone tagliato in angoli trapezoi

(a) Pedro ha costruito un quadrato laterale $2$ utilizzando quattro piccoli quadrati laterali unitari. Collegando i punti di mezzo dei lati del quadrato più grande, Pedro costruì un quadrato evidenziato nella figura. Determinare l’area e il perimetro del quadrato evidenziato.

b) Pedro ha preso un ottagono regolare $ABCDEFGH$ del lato $1$. L’ha tagliato in parti $4$ e le ha riorganizzate per formare la seconda figura. Si noti che i triangoli $A_{1}B{E}_1$ e $A_{2}H{E}_2$ corrispondono rispettivamente ai triangoli $ABE$ e $AHE$.

Calcolare gli angoli interni del trapezzo $BCDE$.

Si può usare il fatto che ogni angolo interno di un poligono regolare con i lati $n$ ha misura $\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$.

c) Spiega perché i punti $B$, $A_1$, $A_2$ e $H$ si trovano sulla stessa linea retta nella seconda figura.

d) Determinare la lunghezza del segmento $E_1{E}_2$.

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Football tournament points: prove/find min victories and score constraints

Eight football teams play a tournament in which each team plays exactly once against each of the other teams. Each win is worth $3$ points, each loss is worth $0$ points, and in case of a draw, each team earns $1$ point.

(a) Prove that it is not possible for a team to have $3$ wins and for all others to have $4$ or more wins.

(b) Show that it is possible that, at the end of the tournament, the team with the most points has had fewer wins than each of the other teams.

(c) Suppose that one of the teams scored more points than all the others combined, and fewer wins than all the others. What is the minimum number of wins that team can have?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Punti di torneo di calcio: prove/trova vincite min e vincoli di punteggio

Otto squadre di calcio giocano un torneo in cui ciascuna squadra gioca esattamente una volta contro ciascuna delle altre squadre. Ogni vittoria vale $3$ punti, ogni perdita vale $0$ punti, e in caso di pareggio, ogni squadra guadagna $1$ punti.

a) dimostrare che non è possibile che una squadra abbia vincite $3$ e che tutte le altre squadre abbiano vincite $4$ o più.

b) dimostrare che è possibile che, alla fine del torneo, la squadra con più punti abbia vinto meno di ciascuna delle altre squadre.

(c) Supponiamo che una delle squadre abbia ottenuto più punti di tutte le altre combinate e meno vincite di tutte le altre. Qual è il numero minimo di vittorie che la squadra può avere?

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2022-partido numbers: split into halves whose product equals original

A positive integer $N$ is called 2022-partido if it has the following properties:

• It has $2k$ digits for some positive integer $k$.
• Letting $X$ be the number formed by the first $k$ digits of $N$ and $Y$ the number formed by the last $k$ digits of $N$ in the order they appear in $N$, we have $N=20\cdot X+22\cdot Y$.

For example, $2022$ and $101045$ are not 2022-partido numbers, since $20\cdot 20+22\cdot 22=884\ne 2022$ and $20\cdot 101+22\cdot 45=3010\ne 101045$.

(a) Determine all 2022-partido numbers of 2 digits.

(b) Determine all 2022-partido numbers of 4 digits.

(c) Determine all 2022-partido numbers of 6 or more digits.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

2022-partido numeri: suddivisi in metà il cui prodotto è uguale all’originale

Un intero positivo $N$ è denominato 2022-partido se ha le seguenti proprietà:

• ha le cifre $2k$ per un intero positivo $k$. - Se $X$ è il numero formato dalle prime cifre $k$ di $N$ e $Y$ il numero formato dalle ultime cifre $k$ di $N$ nell’ordine in cui appaiono in $N$, abbiamo $N=20\cdot X+22\cdot Y$.

Per esempio, $2022$ e $101045$ non sono numeri di partido del 2022, poiché $20\cdot 20+22\cdot 22=884\ne 2022$ e $20\cdot 101+22\cdot 45=3010\ne 101045$.

a) Determinare tutti i numeri partido del 2022 di 2 cifre.

b) Determinare tutti i numeri di partido del 2022 a 4 cifre.

c) Determinare tutti i numeri del partito 2022 di 6 cifre o più.

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