Olimpíada Brasileira de Matemática 2022 — Nível 2 — Fase x

Stone-pile game: sequences, table, invariant of single-stone piles

A single-player game has the following rules: initially there are ten piles of stones, with $1,2,3,\dots ,10$ stones respectively. On each turn, the player may perform one of the following operations:

(i) Choose two piles, each with at least two stones, merge them, and then add two more stones to the new pile;

(ii) Choose a pile with at least $4$ stones, remove $4$ stones from it, and split the remaining stones into two piles of any positive numbers of stones chosen by the player.

The game continues until no operation can be performed.

(a) Give an example of a sequence of moves that leads to the end of the game.

(b) Make a table showing the total number of stones and the number of piles at the start and after each of the first $5$ operations in your example above.

(c) Show that the number of piles with exactly one stone at the end of the game is always the same, regardless of how the moves are made.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco con pile di pietra: sequenze, tabella, invariante di pile di pietra singola

Un gioco per un singolo giocatore ha le seguenti regole: inizialmente ci sono dieci pile di pietre, rispettivamente $1,2,3,\dots ,10$ pietre. In ogni turno il giocatore può eseguire una delle seguenti operazioni:

(i) scegliere due pile, ciascuna con almeno due pietre, fonderele e poi aggiungere altre due pietre alla nuova pila;

(ii) Scegliere una pila con almeno $4$ pietre, rimuovere da essa $4$ pietre e dividere le pietre rimanenti in due pile di qualsiasi numero positivo di pietre scelto dal giocatore.

Il gioco continua fino a quando non si può eseguire alcuna operazione.

(a) Fornire un esempio di una sequenza di mosse che porta alla fine del gioco.

b) Fare una tabella che indichi il numero totale di pietre e il numero di pile all’inizio e dopo ciascuna delle prime operazioni $5$ nell’esempio di cui sopra.

(c) Mostrare che il numero di pile con esattamente una pietra alla fine della partita è sempre lo stesso, indipendentemente dal modo in cui le mosse sono fatte.

src_obm_2022_n2_fx__Q01

System of cyclic equations in a, b, c; determine abc

The real numbers $a$, $b$, $c$ are all different from zero and satisfy the following system of equations: $\{\begin{array}{l}a+ab=c\\ b+bc=a\\ c+ca=b\end{array}$ Determine all possible values of $abc$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sistema di equazioni cicliche in a, b, c; determinare abc

I numeri reali $a$, $b$, $c$ sono tutti diversi da zero e soddisfano il seguente sistema di equazioni: $\{\begin{array}{l}a+ab=c\\ b+bc=a\\ c+ca=b\end{array}$ Determinare tutti i valori possibili di $abc$.

src_obm_2022_n2_fx__Q02

Triangle with incenter and circumcircle; four concyclic points

Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and let $\Gamma$ be its circumscribed circle. Let $M$ be the midpoint of arc $BC$ not containing $A$, $K$ the midpoint of arc $BC$ containing $A$, and $L$ the midpoint of arc $AC$ not containing $B$ (or the analogous arc point defined in the original). Let $J$ be the reflection of $I$ across the line $KL$. The line $LJ$ intersects $\Gamma$ again at a point $T\ne L$. The line $TM$ intersects $\Gamma$ again at a point $S\ne T$. Prove that $S$, $I$, $M$, and $K$ all lie on a common circle.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con incentro e circoncircolo; quattro punti conciclici

Il $ABC$ sia un triangolo con incentro $I$ e il $\Gamma$ sia il suo cerchio circonscritto. Il $M$ deve essere il punto medio dell’arco $BC$ non contenente $A$, $K$ il punto medio dell’arco $BC$ contenente $A$ e $L$ il punto medio dell’arco $AC$ non contenente $B$ (o il punto analogo dell’arco definito nell’originale). Il $J$ deve essere il riflesso di $I$ attraverso la linea $KL$. La linea $LJ$ incrocia di nuovo $\Gamma$ in un punto $T\ne L$. La linea $TM$ incrocia di nuovo $\Gamma$ in un punto $S\ne T$. Provare che $S$, $I$, $M$ e $K$ si trovano tutti su un cerchio comune.

src_obm_2022_n2_fx__Q03

Parallel tangent line and inscribed circle in triangle; find perimeter given AQ=1

In the figure, $PQ$ and $BC$ are parallel, $AB=BC$, $MB=MC$. Furthermore, $\angle CQM=\angle MQP$ and $PQ$ is tangent to the circle inscribed in triangle $ABC$. Given that $AQ=1$, find the perimeter of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea tangente parallela e cerchio inscritto in triangolo; trovare il perimetro dato AQ=1

Nella figura $PQ$ e $BC$ sono parallele, $AB=BC$, $MB=MC$. Inoltre, $\angle CQM=\angle MQP$ e $PQ$ sono tangenti al cerchio inscritto nel triangolo $ABC$. Poiché $AQ=1$, trovare il perimetro del triangolo $ABC$.

src_obm_2022_n2_fx__Q04

Divisor-addition process from 2022; find largest unattainable number

Initially, a number is written on the chalkboard. Then, each minute, Esmeralda chooses a divisor $d>1$ of the number $n$ currently on the board, erases $n$, and writes $n+d$. If the initial number is $2022$, what is the largest number that Esmeralda can never write on the chalkboard?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Processo di aggiunta del divisore a partire dal 2022; trovare il numero non raggiungibile più grande

Inizialmente, un numero è scritto sulla lavagna. Quindi, ogni minuto, Esmeralda sceglie un divisore $d>1$ del numero $n$ attualmente sulla scheda, cancella $n$ e scrive $n+d$. Se il numero iniziale è $2022$, quale è il numero più grande che Esmeralda non può mai scrivere sulla lavagna?

src_obm_2022_n2_fx__Q05

Largest k so k subsets of size 1011 of {1,…,2023} can be 2-colored with intersecting pairs

Determine the largest positive integer $k$ for which the following statement is true: given $k$ distinct subsets of the set $\{1,2,3,\dots ,2023\}$, each with $1011$ elements, it is possible to partition the $k$ subsets into two collections such that any two subsets belonging to the same collection have at least one element in common.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Colorazione, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I più grandi sottoinsiemi di k di dimensioni 1011 di {1,…,2023} possono essere di 2 colori con coppie incrociate

Determinare il più grande intero positivo $k$ per il quale è vera la seguente affermazione: data $k$ sottogruppi distinti dell’insieme $\{1,2,3,\dots ,2023\}$, ciascuno con elementi $1011$, è possibile dividere i sottogruppi $k$ in due collezioni in modo tale che due sottogruppi appartenenti alla stessa collezione abbiano almeno un elemento in comune.

src_obm_2022_n2_fx__Q06