Olimpíada Brasileira de Matemática 2022 — Nível Universitário — Fase x

Find all continuous f satisfying f(x)+f(ax)=x

Given $0<a<1$, find all continuous functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that $f(x)+f(ax)=x$ for all $x\in \mathbb{R}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le continue f soddisfacenti f(x) + f(ax)=x

Date $0<a<1$, trovare tutte le funzioni continue $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tali da $f(x)+f(ax)=x$ per tutte $x\in \mathbb{R}$.

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Show group G of integer matrices is generated by A and B

Consider the set $G$ of $2\times 2$ matrices given by $G=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1,c\text{ is a multiple of }3\right\}$ and the matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 2\end{array}\right).$ Show that any matrix in $G$ can be written as a product $M_1{M}_2\cdots M_r$, with $M_i\in \{A,A^{-1},B,B^{-1}\}$, for all $i\le r$.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra che il gruppo G di matrici interi è generato da A e B

Considera la serie $G$ delle matrici $2\times 2$ data da $G=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1,c\text{ is a multiple of }3\right\}$ e le matrici $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 2\end{array}\right).$ Mostra che qualsiasi matricia in $G$ può essere scritta come prodotto $M_1{M}_2\cdots M_r$, con $M_i\in \{A,A^{-1},B,B^{-1}\}$, per tutte le $i\le r$.

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Self-referential integer sequences and minimal M

Let $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ be a sequence of integers. Define $a_n^{(0)}=a_n$ for every natural number $n$. For every integer $M\ge 0$, define $a_n^{(M+1)}=a_{n+1}^{(M)}-a_n^{(M)},\forall n\in \mathbb{N}.$ We say $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ is $(M+1)$-self-referential if there exist fixed natural numbers $k_1$ and $k_2$ such that $a_{n+k_1}^{(M)}=a_{a_n^{(M+1)}+k_2}^{(M)},\forall n\in \mathbb{N}.$ (a) Does there exist a sequence of integers such that the smallest $M$ for which it is $M$-self-referential is $M=2022$? (b) Does there exist a strictly increasing sequence of positive integers that is $M$-self-referential with smallest such $M=2022$?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Invarianti Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Sequenze di numeri interi autoreferenziali e M * minimo

Let $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ essere una sequenza di numeri interi. Definire $a_n^{(0)}=a_n$ per ogni numero naturale $n$. Per ogni numero intero $M\ge 0$, definire $a_n^{(M+1)}=a_{n+1}^{(M)}-a_n^{(M)},\forall n\in \mathbb{N}.$ Diciamo $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è $(M+1)$-auto-referenziale se esistono numeri naturali fissi $k_1$ e $k_2$ in modo tale che $a_{n+k_1}^{(M)}=a_{a_n^{(M+1)}+k_2}^{(M)},\forall n\in \mathbb{N}.$ (a) Esiste una sequenza di numeri interi in modo tale che il più piccolo $M$ per il quale è $M$-auto-referenziale è $M=2022$? b) Esiste una sequenza di numeri interi positivi in stretta crescita che è $M$-auto-referenziale con il più piccolo di tali $M=2022$?

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Convergence of series involving iterated exponential recurrence

Given $c,a>0$, consider the sequence $(x_n{)}_{n\ge 1}$ defined by $x_1=c$ and $x_{n+1}=x_n{e}^{-x_n^a},n\ge 1.$ For which real values of $\beta$ is the series $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\beta }$ convergent?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Convergenza di serie con ricorrenza esponenziale iterata

Considerando $c,a>0$, si deve considerare la sequenza $(x_n{)}_{n\ge 1}$ definita da $x_1=c$ e $x_{n+1}=x_n{e}^{-x_n^a},n\ge 1.$ per i quali valori reali di $\beta$ è convergente la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\beta }$?

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Upper density product condition implies modular intersection

Given $X\subseteq \mathbb{N}$, define $d(X)$ as the largest $c\in [0,1]$ such that for all $a<c$ and $n_0\in \mathbb{N}$, there exist $m,r\in \mathbb{N}$ with $r\ge n_0$ and $|X\cap [m,m+r]|/r\ge a$. Let $E,F\subseteq \mathbb{N}$ with $d(E)\cdot d(F)>1/4$. Prove that for any prime $p$ and $k\in \mathbb{N}$, there exist $m\in E$ and $n\in F$ with $m\equiv n(\mathrm{mod}{p}^k)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Inclusione-esclusione, Principio dei cassetti Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Condizione del prodotto di densità superiore implica intersezione modulare

Dato $X\subseteq \mathbb{N}$, definire $d(X)$ come il più grande $c\in [0,1]$ in modo tale che per tutti $a<c$ e $n_0\in \mathbb{N}$ esista $m,r\in \mathbb{N}$ con $r\ge n_0$ e $|X\cap [m,m+r]|/r\ge a$. Let $E,F\subseteq \mathbb{N}$ con $d(E)\cdot d(F)>1/4$. Prove che per ogni primo $p$ e $k\in \mathbb{N}$ esistono $m\in E$ e $n\in F$ con $m\equiv n(\mathrm{mod}{p}^k)$.

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Rational tangent angle, prime p≡3 mod 4, numerator divisible by p

Let $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ be a prime, and let $\theta$ be an angle such that $\tan (\theta )$ is rational. Prove that $\tan ((p+1)\theta )$ is a rational number whose numerator is a multiple of $p$; that is, $\tan ((p+1)\theta )=\frac{u}{v}$ with $u,v\in \mathbb{Z}$, $v>0$, $\gcd (u,v)=1$, and $u\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Trigonometria, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Angolo tangente razionale, primo p3 mod 4, numeratore divisibile da p

Che $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ sia un primo e che $\theta$ sia un angolo tale che $\tan (\theta )$ sia razionale. Prova che $\tan ((p+1)\theta )$ è un numero razionale il cui numeratore è un multiple di $p$; cioè $\tan ((p+1)\theta )=\frac{u}{v}$ con $u,v\in \mathbb{Z}$, $v>0$, $\gcd (u,v)=1$ e $u\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

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