Olimpíada Brasileira de Matemática 2023 — Nível Universitário — Fase x

Existence of N with p(n)>2 for all n>N, potency function

Let $p$ be the potency function of positive integers, defined by $p(1)=1$ and $p(n+1)=p(n)$ if $n+1$ is a perfect power, and $p(n+1)=(n+1)\cdot p(n)$ otherwise. A positive integer $n$ is a perfect power if there exist integers $a,b\ge 2$ such that $n=a^b$. Does there exist a positive integer $N$ such that $p(n)>2^n$ for all $n>N$? Prove your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di N con p(n)>2 per tutte le n>N, funzione di potenza

$p$ è la funzione potenza di interi positivi, definita da $p(1)=1$ e $p(n+1)=p(n)$ se $n+1$ è una potenza perfetta, e $p(n+1)=(n+1)\cdot p(n)$ altrimenti. Un intero positivo $n$ è un potenza perfetta se esistono integri $a,b\ge 2$ tali da $n=a^b$. Esiste un intero positivo $N$ tale da $p(n)>2^n$ per tutti $n>N$? Prova la tua risposta.

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Power series satisfying a differential equation; evaluate a series

Let $a_n=\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}$ for all $n\ge 1$.

(a) Prove that $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ converges for all $x\in (-4,4)$ and that the function $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ satisfies the differential equation $x(x-4)f^{\prime \prime }(x)+(x+2)f(x)=-x$.

(b) Prove that $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Serie di potenza che soddisfano un’equazione differenziale; valutare una serie

Let $a_n=\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}$ per tutti $n\ge 1$.

a) Prove che $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ converge per tutti $x\in (-4,4)$ e che la funzione $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ soddisfa l’equazione differenziale $x(x-4)f^{\prime \prime }(x)+(x+2)f(x)=-x$.

b) Prove che $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}$.

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Constant C>0 bounding a sum of k-th roots over log x

Prove that there exists a constant $C>0$ such that, for any integers $m,n$ with $n\ge 2m>1$ and any real number $x>1$, ${\sum }_{k=m}^n\sqrt[k]{x}\le C\left(\frac{m^2-\sqrt[m]{x}}{\log x}+n\right).$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Constante C>0 che limita una somma di radici k-th su log x

Prove che esiste una costante $C>0$ tale che, per qualsiasi numero intero $m,n$ con $n\ge 2m>1$ e qualsiasi numero reale $x>1$, ${\sum }_{k=m}^n\sqrt[k]{x}\le C\left(\frac{m^2-\sqrt[m]{x}}{\log x}+n\right).$

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Invertible matrix C in M_2(Z) with given CAC^{-1} forms

Let $M_2(\mathbb{Z})$ be the set of $2\times 2$ matrices with integer entries. Let $A\in M_2(\mathbb{Z})$ be such that $A^2+5I=0,$ where $I\in M_2(\mathbb{Z})$ and $0\in M_2(\mathbb{Z})$ denote the identity and zero matrices, respectively. Prove that there exists an invertible matrix $C\in M_2(\mathbb{Z})$ with $C^{-1}\in M_2(\mathbb{Z})$ such that $CA{C}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -1\end{array}\right)\text{or}CA{C}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -5& 0\end{array}\right).$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Matrice invertibile C in M_2(Z) con le formule CAC^{-1} indicate

$M_2(\mathbb{Z})$ sia l’insieme di matrici $2\times 2$ con voci interi. Il $A\in M_2(\mathbb{Z})$ deve essere tale che $A^2+5I=0,$, dove $I\in M_2(\mathbb{Z})$ e $0\in M_2(\mathbb{Z})$ indichino rispettivamente le matrici di identità e zero. Prova che esiste una matrice invertibile $C\in M_2(\mathbb{Z})$ con $C^{-1}\in M_2(\mathbb{Z})$ tale che $CA{C}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -1\end{array}\right)\text{or}CA{C}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -5& 0\end{array}\right).$

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Drunk knight on infinite board; probability of reaching specific cell after 2023 moves

A drunk knight moves on an infinite board whose squares are labeled by pairs $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$. At each move, the 8 possibilities $(a,b)\to (a\pm 1,b\pm 2),(a,b)\to (a\pm 2,b\pm 1)$ are equally likely. Knowing that the knight starts at $(0,0)$, compute the probability that after $2023$ moves it is at a square $(a,b)$ with $a\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ and $b\equiv 5(\mathrm{mod}8)$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Cavaliere ubriaco su una tavola infinita; la probabilità di raggiungere una cellula specifica dopo il 2023 si muove

Un cavaliere ubriaco si muove su una tavola infinita i cui quadrati sono etichettati con coppie $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$. A ciascuna mossa, le 8 possibilità $(a,b)\to (a\pm 1,b\pm 2),(a,b)\to (a\pm 2,b\pm 1)$ sono ugualmente probabili. Sapendo che il cavaliere inizia a $(0,0)$, calcola la probabilità che dopo $2023$ si muova sia a un quadrato $(a,b)$ con $a\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ e $b\equiv 5(\mathrm{mod}8)$.

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Find all pairs (c,d) in R^2 such that a sequence with given recurrence of positive reals exists

Determine all pairs $(c,d)\in {\mathbb{R}}^2$ of real constants such that there exists a sequence $(a_n{)}_{n\ge 1}$ of positive real numbers satisfying, for all $n\ge 1$, $a_n\ge c\cdot a_{n+1}+d\cdot {\sum }_{1\le j<n}{a}_j.$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le coppie (c,d) in R^2 in modo tale che esista una sequenza con una data ricorrenza di reali positivi

Determinare tutte le coppie $(c,d)\in {\mathbb{R}}^2$ di costanti reali in modo tale che esista una sequenza $(a_n{)}_{n\ge 1}$ di numeri reali positivi che soddisfi, per tutte $n\ge 1$, $a_n\ge c\cdot a_{n+1}+d\cdot {\sum }_{1\le j<n}{a}_j.$

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