Olimpíada Brasileira de Matemática 2024 — Nível 1 — Fase x

Special numbers: digit-sum supera condition, find smallest exceeding 2024

A power of 2 is a number of the form $2^k$ where $k$ is a non-negative integer. For example, the three smallest powers of 2 are $2^0=1$, $2^1=2$ and $2^2=4$. A number is called a power of 2 if it is a power of 2. For example, 2024 is special, because $2^0+2+0+2+4=8=2^3$. We say that a number $A$ \emph{supera} (beats) another when the first is greater than the second and the sum of the digits of the first is greater than the sum of the digits of the second. For example, 2029 beats 2024, because $2029>2024$ and $2+0+2+9=13>2+0+2+4=8$.

a) What is the smallest positive integer that is special and beats 2024?

b) What is the smallest positive integer that is special and beats the correct answer to the previous item?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nomeri speciali: condizione della somma digitale supera, trovare il più piccolo superiore al 2024

Una potenza di 2 è un numero della forma $2^k$ dove $k$ è un intero non negativo. Ad esempio, le tre potenze più piccole di 2 sono $2^0=1$, $2^1=2$ e $2^2=4$. Un numero si chiama potenza di 2 se è potenza di 2. Ad esempio, il 2024 è speciale perché $2^0+2+0+2+4=8=2^3$. Diciamo che un numero $A$ \emph{supera} (batte) un altro quando il primo è maggiore del secondo e la somma delle cifre del primo è maggiore della somma delle cifre del secondo. Ad esempio, il 2029 batte il 2024, perché $2029>2024$ e $2+0+2+9=13>2+0+2+4=8$.

a) Qual è il numero intero positivo più piccolo che è speciale e batte il 2024?

b) Qual è il numero intero positivo più piccolo che è speciale e batte la risposta corretta al punto precedente?

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Chess pieces (knight and rook) on 3x3 board, complete configurations

In this problem we use some pieces from the game of chess.

• The \emph{knight} (C) is a piece that attacks squares that are 1 move in one direction and 1 square in the perpendicular direction. An important property is that the knight can jump over pieces, that is, it can attack a square even if there are pieces between it and the square. See the first figure below: we have a knight in the bottom-left corner that attacks exactly 2 squares ($\bullet$).

• The \emph{rook} (T) is a piece that attacks all squares on the same row or column as it. Unlike the knight, the rook cannot jump over pieces. In the second figure below, we have a rook attacking 4 squares ($\bullet$).

When placing some chess pieces on a $3\times 3$ board, we say this configuration is \emph{complete} when each of the 9 squares is occupied by exactly one piece or is being attacked by at least one of the pieces. It is not allowed to place more than one piece on the same square.

In the first example below, a complete configuration with 3 towers. In the second, a configuration that is not complete using 3 towers.

a) What is the minimum number of knights needed to make a complete configuration on a $3\times 3$ board using only knights? Remember to show an example with this minimum number of knights and to demonstrate that there is no complete configuration with fewer knights.

b) How many different complete configurations exist on a $3\times 3$ board using exactly one rook and two knights? Configurations obtained from each other by rotations or reflections are considered different. For example, the four configurations shown below are all considered distinct.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Piani di scacchi (cavaliere e torre) su tavola 3x3, configurazioni complete

In questo problema usiamo alcuni pezzi del gioco degli scacchi.

• Il \emph{knight} (C) è un pezzo che attacca quadrati che sono 1 movimento in una direzione e 1 quadrato nella direzione perpendicolare. Una proprietà importante è che il cavaliere può saltare sopra i pezzi, cioè può attaccare un quadrato anche se ci sono pezzi tra di esso e il quadrato. Vedi la prima figura qui sotto: abbiamo un cavaliere nell’angolo inferiore sinistro che attacca esattamente 2 quadrati ($\bullet$).

• Il \emph{rook} (T) è un pezzo che attacca tutti i quadrati della stessa riga o colonna come esso. A differenza del cavaliere, la torre non può saltare sopra i pezzi. Nella seconda figura qui sotto, abbiamo una torre che attacca 4 quadrati ($\bullet$).

Quando si collocano alcuni pezzi di scacchi su una tavola $3\times 3$, diciamo che questa configurazione è \emph{complete} quando ciascuno dei 9 quadrati è occupato da esattamente una parte o viene attaccato da almeno una delle parti. Non è consentito mettere più di un pezzo sulla stessa piazza.

Nel primo esempio di seguito, una configurazione completa con 3 torri. Nella seconda, una configurazione non completa utilizzando 3 torri.

a) Qual è il numero minimo di cavalieri necessario per realizzare una configurazione completa su una tavola $3\times 3$ utilizzando solo cavalieri? Ricordate di mostrare un esempio con questo numero minimo di cavalieri e di dimostrare che non esiste una configurazione completa con meno cavalieri.

b) Quante diverse configurazioni complete esistono su una tavola $3\times 3$ che utilizza esattamente una torre e due cavalieri? Le configurazioni ottenute tra loro mediante rotazioni o riflessioni sono considerate diverse. Per esempio, le quattro configurazioni riportate di seguito sono tutte considerate diverse.

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Regular octagon with midpoints and intersections, find segment lengths and squares

In the figure below, $ABCDEFGH$ is a regular octagon with side 6 cm. The points $M$ and $N$ are the midpoints of $AB$ and $CD$, respectively. The point $T$ is the intersection of lines $AB$ and $CD$. In this way, $OMTN$ is a square. Furthermore, the lengths of $BP$ and $CQ$ are both 5 cm. It is known that a regular octagon has interior angles of $135^{\circ }$ and all sides of equal length.

a) Determine the length of segment $MP$.

b) Determine the square of the length of segment $BT$, that is, $B{T}^2$.

c) Determine the square of the length of segment $PQ$, that is, $P{Q}^2$.

\emph{In this problem, you may wish to use the Pythagorean Theorem: in a right triangle with legs $a$ and $b$ and hypotenuse $c$ (the side opposite the $90^{\circ }$ angle), the relation $a^2+b^2=c^2$ holds.}

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Octogono regolare con punti medi e intersezioni, trovare lunghezze e quadrati del segmento

Nella figura seguente, $ABCDEFGH$ è un ottagono regolare con lato di 6 cm. I punti $M$ e $N$ sono rispettivamente i punti intermedi di $AB$ e $CD$. Il punto $T$ è l’incrocio delle linee $AB$ e $CD$. In questo modo, $OMTN$ è un quadrato. Inoltre, le lunghezze di $BP$ e $CQ$ sono entrambe di 5 cm. È noto che un ottagono regolare ha angoli interni di $135^{\circ }$ e tutti i lati di uguale lunghezza.

a) Determinare la lunghezza del segmento $MP$.

b) Determinare il quadrato della lunghezza del segmento $BT$, cioè $B{T}^2$.

c) Determinare il quadrato della lunghezza del segmento $PQ$, cioè $P{Q}^2$.

\emph{In questo problema, potresti voler usare il teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo con gambe $a$ e $b$ e ipotenusa $c$ (il lato opposto all’angolo $90^{\circ }$), la relazione $a^2+b^2=c^2$ si mantiene.}

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Sequence built by repeatedly replacing largest prime factor; properties and initial term

Consider a sequence whose first term is a positive integer $N>1$. Consider the prime factorization of $N$ into primes. If $N$ is a power of 2, the sequence consists of a single term: $N$. Otherwise, the second term of the sequence is obtained by replacing the largest prime factor $p$ of $N$ by $p+1$ in the factorization. If the resulting number is not a power of 2, repeat the same process with it: replace the largest prime factor by its value plus 1. If the resulting number is a power of 2, the numerical sequence ends. And so on successively.

For example, if the first term of the sequence is $N=300=2^2\cdot 3\cdot 5^2$, since the largest prime factor is $p=5$, the second term is $2^2\cdot 3\cdot (5+1{)}^2=2^2\cdot 3\cdot 6^2=2^4\cdot 3^3$. Repeating the process, the largest prime factor is now $p=3$, so the third term is $2^4\cdot (3+1{)}^3=2^4\cdot 4^3=2^4\cdot 2^6=2^{10}$. Since $2^{10}$ is a power of 2, the sequence has 3 terms: $2^2\cdot 3\cdot 5^2$, $2^4\cdot 3^3$, $2^{10}$.

a) What are the terms of the sequence when $N=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23$?

b) Show that if a prime $p$ leaves remainder 1 when divided by 3, then $\frac{p+1}{3}$ is a positive integer that is also divisible by 3.

c) Find an initial value $N$ less than $1,000,000$ (one million) such that the sequence starting from $N$ has exactly 10 terms.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza costruita sostituendo ripetutamente il più grande fattore primo; proprietà e termine iniziale

Considera una sequenza il cui primo termine è un intero positivo $N>1$. Considera la fattorizzazione primaria di $N$ in numeri primi. Se $N$ è una potenza di 2, la sequenza è composta da un singolo termine: $N$. In caso contrario, il secondo termine della sequenza viene ottenuto sostituendo il più grande fattore primo $p$ di $N$ con $p+1$ nella fattorizzazione. Se il numero risultante non è una potenza di 2, ripetere lo stesso processo con esso: sostituire il fattore primo più grande con il suo valore più 1. Se il numero risultante è una potenza di 2, la sequenza numerica termina. E così via.

Ad esempio, se il primo termine della sequenza è $N=300=2^2\cdot 3\cdot 5^2$, dal momento che il fattore primo più grande è $p=5$, il secondo termine è $2^2\cdot 3\cdot (5+1{)}^2=2^2\cdot 3\cdot 6^2=2^4\cdot 3^3$. Ripetendo il processo, il fattore primo più grande è ora $p=3$, quindi il terzo termine è $2^4\cdot (3+1{)}^3=2^4\cdot 4^3=2^4\cdot 2^6=2^{10}$. Poiché $2^{10}$ è una potenza di 2, la sequenza ha 3 termini: $2^2\cdot 3\cdot 5^2$, $2^4\cdot 3^3$, $2^{10}$.

a) Quali sono i termini della sequenza quando $N=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23$?

b) Mostrare che se un primo $p$ lascia il rimanente 1 quando diviso per 3, allora $\frac{p+1}{3}$ è un intero positivo che è anche divisibile per 3.

c) Trovare un valore iniziale $N$ inferiore a $1,000,000$ (un milione) tale che la sequenza a partire da $N$ abbia esattamente 10 termini.

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Six-team football championship, find minimum possible highest score

A championship is played among six football teams, with each team playing each of the other five teams exactly once. The winner of each match earns 3 points and the loser earns 0 points; if the match ends in a draw, both teams earn 1 point. It is known that, at the end of the championship, the six teams had pairwise different point totals. What is the smallest possible value for the number of points of the team with the most points?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Campionato di calcio a sei squadre, trovare il minimo massimo punteggio possibile

Un campionato è giocato tra sei squadre di calcio, con ciascuna squadra che gioca ciascuna delle altre cinque squadre esattamente una volta. Il vincitore di ciascuna partita guadagna 3 punti e il perdente guadagna 0 punti; se la partita termina in pareggio, entrambe le squadre guadagnano 1 punto. È noto che, alla fine del campionato, le sei squadre avevano in coppia punti totali diversi. Qual è il minimo valore possibile per il numero di punti della squadra con più punti?

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