Olimpíada Brasileira de Matemática 2024 — Nível 3 — Fase x

Infinite integer sequence with zero sums and nonzero terms

Display an infinite sequence $a_1,a_2,\dots$ of integers with both of the following properties:

• $a_i\ne 0$ for every positive integer $i$; that is, no term of the sequence equals zero;
• for every positive integer $i$, $a_i+a_{i+1}+\cdots +a_{i+2024}=0$.

To earn full marks, you must justify why your sequence has both properties above.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi infiniti con somme zero e termini non zero

Visualizzare una sequenza infinita $a_1,a_2,\dots$ di numeri interi con entrambe le seguenti proprietà:

• $a_i\ne 0$ per ogni intero positivo $i$; cioè nessun termine della sequenza è uguale a zero; - per ogni intero positivo $i$, $a_i+a_{i+1}+\cdots +a_{i+2024}=0$.

Per ottenere punteggi completi, devi giustificare il motivo per cui la tua sequenza ha entrambe le proprietà sopra.

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Equilateral triangles on hypotenuse; intersection of cevians equals product of segments

Let $ABC$ be a right triangle at $B$, with altitude $BT$ on the hypotenuse $AC$. Construct the equilateral triangles $BTX$ and $BTY$ such that $X$ lies on the same side of $BT$ as $A$ with respect to $BT$, and $Y$ lies on the same side of $BT$ as $C$ with respect to $BT$. Let $P$ be the intersection of $AY$ and $CX$. Prove that $PA\cdot BC=PB\cdot CA=PC\cdot AB.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli equilaterali sull’ipotenusa; intersezione dei ceviani è uguale al prodotto dei segmenti

Che $ABC$ sia un triangolo rettangolo a $B$, con altitudine $BT$ sull’ipotenusa $AC$. Costruire i triangoli equilaterali $BTX$ e $BTY$ in modo tale che $X$ sia situato sullo stesso lato di $BT$ rispetto a $A$ e $Y$ sia situato sullo stesso lato di $BT$ rispetto a $C$. Il $P$ deve essere l’intersezione di $AY$ e $CX$. Provare che $PA\cdot BC=PB\cdot CA=PC\cdot AB.$

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Colonizing Mars: agencies alternate trips; determine which agency cannot fail first

Let $n$ be a positive integer. Humanity is about to begin colonizing Mars. Agencies SpaceY and SpaceZ are responsible for making the trips between planets. If the rockets do not fail, they will make trips alternately, with SpaceY making the first trip. In each trip, the agency will carry out one of the following types of mission:

(i) choose a positive integer $k$ and send $k$ people to Mars, creating a new colony on the planet and establishing it with those people;

(ii) choose an existing colony on Mars and a positive integer $k$ strictly less than the population of that colony, and bring $k$ people back to Earth.

To maintain organization in the mission, a mission cannot result in two colonies with the same population, and the total number of colonies must be at most $n$. The first agency that cannot carry out a mission will fail. Determine, as a function of $n$, which agency can guarantee that it will not fail first.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colonizzare Marte: le agenzie alternano viaggi; determinano quale agenzia non può fallire prima

$n$ sia un numero intero positivo. L’umanità sta per colonizzare Marte. Le agenzie SpaceY e SpaceZ sono responsabili di effettuare i viaggi tra i pianeti. Se i razzi non falliranno, faranno i viaggi alternatamente, con SpaceY che farà il primo viaggio. In ogni viaggio l’agenzia svolgerà uno dei seguenti tipi di missione:

(i) scegliere un numero intero positivo $k$ e inviare persone $k$ su Marte, creando una nuova colonia sul pianeta e fondandola con queste persone;

(ii) scegliere una colonia esistente su Marte e un numero intero positivo $k$ strettamente inferiore alla popolazione di quella colonia, e riportare $k$ persone sulla Terra.

Per mantenere l’organizzazione della missione, una missione non può comportare due colonie con la stessa popolazione e il numero totale delle colonie deve essere massimo $n$. La prima agenzia che non riesca a svolgere una missione fallirà. Determinare, in funzione di $n$, quale agenzia può garantire che non fallisca prima.

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Three distinct reals satisfying cyclic system; prove all lie in (-1,1)

Let $x,y,z$ be three distinct real numbers such that $\{\begin{array}{l}{x}^2-x=yz\\ y^2-y=zx\\ z^2-z=xy\end{array}$ Prove that $-1<x,y,z<1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Simmetria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Tre realtà distinte che soddisfano il sistema ciclico; dimostrare che tutte si trovano in (-1,1) *

Che $x,y,z$ siano tre numeri reali distinti in modo tale che $\{\begin{array}{l}{x}^2-x=yz\\ y^2-y=zx\\ z^2-z=xy\end{array}$ dimostri che $-1<x,y,z<1$.

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1×2024 board game: Ana and Banana color squares; find min k for Ana to guarantee all-green

Let $m$ be a positive integer with $m\le 2024$. Ana and Banana play a game alternately on a $1\times 2024$ board, with squares initially painted white. Ana goes first. Each move of Ana consists of choosing $k\le m$ white squares on the board and painting all of them green. Each move of Banana consists of choosing any sequence of consecutive green squares and painting all of them white. What is the smallest value of $m$ for which Ana can guarantee that, after some of her moves, the board will be entirely painted green?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

1 ×2024 gioco da tavolo: Ana e Banana quadrati di colore; trovare min k per Ana per garantire tutto verde

$m$ sia un intero positivo con $m\le 2024$. Ana e Banana giocano un gioco alternativamente su una tavola $1\times 2024$, con quadrati inizialmente dipinti in bianco. Ana e’ la prima. Ogni mossa di Ana consiste nel scegliere quadrati bianchi sulla lavagna e dipingere tutti in verde. Ogni mossa di Banana consiste nel scegliere una sequenza di quadrati verdi consecutivi e dipingere tutti bianchi. Qual è il minimo valore di $m$ per il quale Ana può garantire che, dopo alcune sue mosse, la lavagna sarà completamente dipinta di verde?

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Sequence defined via smallest non-divisor; prove every positive integer appears

For $k$ a positive integer, let $p(k)$ denote the smallest prime that does not divide $k$. Given a positive integer $a$, define the infinite sequence $a_0,a_1,\dots$ by $a_0=a$ and, for $n>0$, $a_n\ne a_i$ for $0\le i<n$; the sequence has the following properties:

• $a_n$ has not appeared in the sequence before, or equivalently $a_n\ne a_i$ for $0\le i<n$;
• $(a_{n-1}{)}^{a_n}-1$ is a multiple of $p(a_{n-1})$.

Prove that every positive integer appears as a term of the sequence; that is, for every positive integer $m$ there exists $i$ such that $a_i=m$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza definita con il più piccolo non-divisore; dimostrare che ogni intero positivo appare

Per $k$ un intero positivo, $p(k)$ indica il primo più piccolo che non divide $k$. Se il numero intero $a$ è positivo, definire la sequenza infinita $a_0,a_1,\dots$ da $a_0=a$ e, per $n>0$, $a_n\ne a_i$ da $0\le i<n$; la sequenza ha le seguenti proprietà:

• $a_n$ non è apparso nella sequenza precedente, o equivalentemente $a_n\ne a_i$ per $0\le i<n$; - $(a_{n-1}{)}^{a_n}-1$ è un multiple di $p(a_{n-1})$.

Prova che ogni intero positivo appare come termine della sequenza; cioè, per ogni intero positivo $m$ esiste $i$ tale che $a_i=m$.

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