Olimpíada Brasileira de Matemática 2025 — Nível 1 — Fase x

Years whose last two digits divide the year exactly: find the next three after 2025, and count them between 1900 and 1999.

A year $A$ is called inteiro (whole) when its last two digits are not both $0$ and the number formed by the last two digits of $A$ divides $A$ exactly, that is, gives an integer result. For example, $2025$ and $2002$ are whole years, since $\frac{2025}{25}=81$ and $\frac{2002}{2}=1001$ are integers. On the other hand, $2000$ and $2003$ are not whole years, since $2000$ ends in $00$ and $\frac{2003}{3}$ is not an integer.

(a) Which are the next three whole years after $2025$? Justify your answer.

(b) How many whole years are there between $1900$ and $1999$? Justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Anni le cui ultime due cifre dividono esattamente l’anno: trovare le tre successive dopo il 2025, e contarle tra il 1900 e il 1999.

Un anno $A$ viene chiamato inteiro (intero) quando le sue ultime due cifre non sono entrambe $0$ e il numero formato dalle ultime due cifre di $A$ divide esattamente $A$, cioè dà un risultato intero. Ad esempio, $2025$ e $2002$ sono anni interi, poiché $\frac{2025}{25}=81$ e $\frac{2002}{2}=1001$ sono numeri interi. D’altra parte, $2000$ e $2003$ non sono anni interi, poiché $2000$ termina in $00$ e $\frac{2003}{3}$ non è un numero intero.

(a) Quali sono i prossimi tre anni interi dopo $2025$? Giustifica la tua risposta.

b) Quanti anni interi esistono tra $1900$ e $1999$? Giustifica la tua risposta.

src_obm_2025_n1_fx__Q01

Square of side x with diagonal 2 cm decomposed into four triangles; then area of quadrilateral IJKL formed by squares built inside a regular octagon.

(a) The figure below shows a square of side $x$ with diagonal $2$ cm. We obtain an equation for $x$ in two ways: directly through the area of the square, or by summing the four areas of the triangles formed by the sides and by the diagonals. Find this equation and compute the value of $x$.

(b) The figure below shows a regular octagon $ABCDEFGH$ of side $2$ cm. Each of the interior angles of a regular octagon measures $135^{\circ }$. In the interior of the octagon, the squares $ABIJ$ and $EFKL$ were built over the sides $AB$ and $EF$, respectively. What is the area of the quadrilateral $IJKL$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Quadrato del lato x con diagonale di 2 cm decomposto in quattro triangoli; quindi area di IJKL quadrilaterale formata da quadrati costruiti all’interno di un ottagono regolare.

(a) La figura seguente mostra un quadrato laterale $x$ con diagonale $2$ cm. Ottieniamo un’equazione per $x$ in due modi: direttamente attraverso l’area del quadrato, o sommando le quattro aree dei triangoli formati dai lati e dai diagonali. Trova questa equazione e calcola il valore di $x$.

b) La figura seguente mostra un ottagono regolare $ABCDEFGH$ di lato $2$ cm. Ogni angolo interno di un ottagono regolare misura $135^{\circ }$. Nell’interno dell’ottangolo, i quadrati $ABIJ$ e $EFKL$ sono stati costruiti sui lati $AB$ e $EF$, rispettivamente. Qual è la superficie del quadrilaterale $IJKL$?

src_obm_2025_n1_fx__Q02

Two players alternately cross out numbers from 1 to 25; you lose if your move leaves three remaining numbers with sum divisible by 3. Analyze a position and decide who wins from the start.

Ana and Beto decide to play a game. Initially the $25$ numbers, the integers from $1$ to $25$, are written on a blackboard. They play alternately crossing out a number from the blackboard, with Ana crossing out first. On each turn, a player chooses a number that has not yet been crossed out and crosses it out. A configuration is said to lose the game if the sum of the three numbers that remain (not crossed out) is divisible by $3$. The player who, with their move, leaves a configuration that loses the game, loses.

(a) Suppose the numbers crossed out so far are $3$, $2$ and $4$. Now it is Beto’s turn to play. How must Beto play to win? Justify your answer.

(b) Considering the game from its initial state, in which no number has yet been crossed out and Ana will make the first move, which of the players has a winning strategy, that is, can play so as to always win, no matter the moves made by the opponent? Remember to explain how the player who has a winning strategy must play to guarantee the victory.

Topic: Combinatoria, Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Invarianti Abilita: Casework accurato, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Due giocatori intercorso alternatamente i numeri da 1 a 25; si perde se la mossa lascia tre numeri rimanenti con somma divisibile per 3. Analizzare una posizione e decidere chi vince dall’inizio.*

Ana e Beto decidono di giocare. Inizialmente i numeri $25$, i numeri interi da $1$ a $25$, sono scritti su una lavagna nera. Si suonano alternatamente per eliminare un numero dalla lavagna, con Ana che viene prima. A ogni turno, un giocatore sceglie un numero che non è ancora stato incrociato e lo incrocia. Si dice che una configurazione perda la partita se la somma dei tre numeri rimasti (non incrociati) è divisibile da $3$. Il giocatore che, con la sua mossa, lascia una configurazione che perde il gioco, perde.

(a) Supponiamo che i numeri finora incrociati siano $3$, $2$ e $4$. Ora è il turno di Beto di giocare. Come deve giocare Beto per vincere? Giustifica la tua risposta.

b) Considerando il gioco dal suo stato iniziale, in cui nessun numero è ancora stato eliminato e Ana farà la prima mossa, quale dei giocatori ha una strategia vincente, cioè può giocare in modo da vincere sempre, indipendentemente dalle mosse compiute dall’avversario? Ricordate di spiegare come il giocatore che ha una strategia vincente deve giocare per garantire la vittoria.

src_obm_2025_n1_fx__Q03

Supersum S(N): sum of all distinct numbers formed by the orderings of the digits of N. Find a multiple of 9 with S(N) a multiple of 9, prove the implication, and find the smallest N with S(N) a multiple of 2025.

We will call the supersum of a positive integer $N$ the sum of all the numbers formed by the orderings of the digits of $N$. We will denote the supersum by $S(N)$. For example, if $N=\overline{AB}$ has the digits $A$ and $B$ (with $A\ne 0$), then the supersum of $N$ is $S(N)=AB+BA$; if $N=\overline{ABC}$ has the digits $A$, $B$ and $C$ (with $A\ne 0$), then the supersum of $N$ is $S(N)=ABC+ACB+BAC+BCA+CAB+CBA$. Observe that when $N$ has repeated digits we make all the orderings possible as long as they form distinct numbers. For example, $100$ has supersum $S(100)=100+010+001=111$, and $111$ has supersum $S(111)=111$. Note that we can also consider $N=010$ with three significant digits, but for $N$ to have three significant digits, $010$ is not allowed; the supersum is defined for $N$ different from zero.

(a) Find a number $N$ multiple of $9$, with supersum $S(N)$ also a multiple of $9$.

(b) Prove that if $N$ is a multiple of $9$, then $S(N)$ is also a multiple of $9$.

(c) What is the smallest positive integer $N$ such that $S(N)$ is a multiple of $2025$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Supersum S(N): somma di tutti i numeri distinti formati dall’ordine delle cifre di N. Trova un multiple di 9 con S(N) un multiple di 9, prova l’implicazione, e trova il più piccolo N con S(N) un multiple di 2025.

Chiameremo la supersum di un intero positivo $N$ la somma di tutti i numeri formati dall’ordine dei numeri di $N$. Indicheremo la supersumma con $S(N)$. Ad esempio, se $N=\overline{AB}$ ha i numeri $A$ e $B$ (con $A\ne 0$), allora la somma di $N$ è $S(N)=AB+BA$; se $N=\overline{ABC}$ ha i numeri $A$, $B$ e $C$ (con $A\ne 0$), allora la somma di $N$ è $S(N)=ABC+ACB+BAC+BCA+CAB+CBA$. Si noti che quando $N$ ha cifre ripetute facciamo possibile tutti gli ordini finché formano numeri distinti. Ad esempio, $100$ ha la supersomma $S(100)=100+010+001=111$ e $111$ ha la supersomma $S(111)=111$. Si noti che possiamo anche considerare $N=010$ con tre cifre significative, ma per $N$ di avere tre cifre significative, $010$ non è consentito; la supersomma è definita per $N$ diversa da zero.

(a) Trovare un numero $N$ multiple di $9$, con supersomma $S(N)$ anche un multiple di $9$.

b) dimostrare che se $N$ è un multiple di $9$, allora $S(N)$ è anche un multiple di $9$.

(c) Qual è il più piccolo intero positivo $N$ tale che $S(N)$ sia un multiple di $2025$?

src_obm_2025_n1_fx__Q04

The ‘arrumadinho’ game on a 2xn board: each first-row number must reappear in an adjacent second-row column, and no left prefix of the second row equals {1,…,k} except k=n. Give an example for n=8 and count the 2x2025 cards.

A card of the game arrumadinho (tidy) is a $2\times n$ board that must satisfy the following rules:

(I) Each number written in the first row must appear in the second row in one of the two columns closest to the one it occupies in the first row. Note that the same number can appear in the same column in the two rows, that is, the column may contain two equal numbers.

(II) The set of numbers written in the first $k$ consecutive cells of the second row, counting from left to right, never equals the set $\{1,2,3,\dots ,k\}$, except for $k=n$.

For example, in the figure, tableaux $1$ to $4$ are not cards: Tableau $1$ does not satisfy rule (I); Tableau $2$ does not satisfy rule (II) (in the second row the set of the first numbers reaching column $4$ equals $\{1,2,3,4\}$); Tableau $3$ does not satisfy rule (I) (a rule (I) is disrespected twice); Tableau $4$ does not satisfy either rule (I) or rule (II).

(a) Copy the card below onto your solution sheet and give an example of a filling so that it becomes part of the game. $\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ & & & & & & & \end{array}$

(b) What is the number of $2\times 2025$ cards of this game?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Il gioco “arrumadinho” su una tavola 2xn: ogni numero di prima riga deve riemergere in una colonna adiacente di seconda riga, e nessun prefisso sinistro della seconda riga equivale a {1,…,k} tranne k=n. Date un esempio di n=8 e contate le carte 2x2025.

Una carta del gioco arrumadinho (tidy) è una tabella $2\times n$ che deve soddisfare le seguenti regole:

(I) Ogni numero scritto nella prima riga deve apparire nella seconda riga in una delle due colonne più vicine a quella che occupa nella prima riga. Si noti che lo stesso numero può apparire nella stessa colonna nelle due righe, cioè la colonna può contenere due numeri uguali.

(II) L’insieme di numeri iscritto nelle prime celle consecutive $k$ della seconda riga, contando da sinistra a destra, non è mai uguale all’insieme $\{1,2,3,\dots ,k\}$, tranne per $k=n$.

Ad esempio, nella figura, le tabelle $1$ a $4$ non sono carte: la tabella $1$ non soddisfa la regola (I); la tabella $2$ non soddisfa la regola (II) (nella seconda riga l’insieme dei primi numeri che raggiungono la colonna $4$ è uguale a $\{1,2,3,4\}$); la tabella $3$ non soddisfa la regola (I) (una regola (I) è violata due volte); la tabella $4$ non soddisfa né la regola (I) né la regola (II).

(a) Copia la carta qui sotto sul tuo foglio di soluzione e da un esempio di riempimento in modo che diventi parte del gioco. $\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ & & & & & & & \end{array}$

b) Qual è il numero delle carte $2\times 2025$ di questo gioco?

src_obm_2025_n1_fx__Q05