Olimpíada Brasileira de Matemática 2025 — Nível 2 — Fase x

Minimum digit-sum of a power of 2 with at least two digits

Determine the minimum possible value for the sum of the digits of a power of $2$ that has at least two digits, and justify why it is not possible to find a power of $2$ with a smaller digit sum. Find a power of $2$ whose digit sum equals the answer found.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum-digit-sum di una potenza di 2 con almeno due cifre

Determinare il valore minimo possibile per la somma delle cifre di una potenza di $2$ che ha almeno due cifre e giustificare perché non è possibile trovare una potenza di $2$ con una somma di cifre più piccola. Trova una potenza di $2$ la cui somma digitali è uguale alla risposta trovata.

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Winning strategy in 5x5 board game for which positive integers m

Let $m$ be a positive integer. Ana and Banana play the following game on a $5\times 5$ board, initially filled with $0$ in every cell. Alternately, they choose a cell of the board and add to the number written in that cell an integer from the set $\{1,2,3,4,5\}$, in such a way that the number written in that cell never exceeds $m$. The player who completes all five cells of a row, a column, or one of the two main diagonals with the number $m$ wins. For which positive integers $m$ does Ana, the first to play, have a winning strategy?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Strategia vincente in gioco da tavolo 5x5 per il quale gli integri positivi m

$m$ sia un numero intero positivo. Ana e Banana giocano il seguente gioco su una tavola $5\times 5$, inizialmente riempita di $0$ in ogni cella. In alternativa, essi scelgono una cella della scheda e aggiungono al numero scritto in quella cella un numero intero dell’insieme $\{1,2,3,4,5\}$, in modo tale che il numero scritto in quella cella non superi mai $m$. Il giocatore che completa tutte le cinque celle di una riga, una colonna o una delle due diagonali principali con il numero $m$ vince. Per quali integri positivi $m$ Ana, la prima a giocare, ha una strategia vincente?

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Prove quadrilateral KDMR is cyclic in acute triangle with orthocenter

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$. Let $D$, $E$, $F$ be the feet of the altitudes from $A$, $B$, $C$ respectively, and let $M$ be the midpoint of $BC$. Let $H$ be the orthocenter of $ABC$. Let $P$ be the intersection of lines $EF$ and $BC$. The line $PH$ meets the circle with diameter $AH$ again at point $J$. Let $R$ be the reflection of $A$ over $BC$. The lines $JD$ and $PR$ meet at $K$. Prove that the quadrilateral $KDMR$ is cyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che il KDMR quadrilaterale è ciclico in triangolo acuto con centro orto

$ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$. I metri $D$, $E$ e $F$ siano i piedi delle altitudini rispettivamente da $A$, $B$ e $C$, e $M$ sia il punto medio di $BC$. Che $H$ sia l’ortocentro di $ABC$. $P$ sia l’intersezione delle linee $EF$ e $BC$. La linea $PH$ incontra nuovamente il cerchio di diametro $AH$ al punto $J$. Il $R$ deve essere il riflesso di $A$ su $BC$. Le linee $JD$ e $PR$ si incontrano a $K$. Provare che il quadrilaterale $KDMR$ è ciclico.

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Collinearity DEF and segment equality ID=IF using incenter and A-excenter

Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and $A$-excenter (the excenter opposite to vertex $A$) equal to $K$. Let $D$ be the foot of the internal bisector from vertex $A$, let $E$ be the circumcenter of triangle $BDK$, and let $F$ be the second intersection of $AC$ with the circumscribed circle of triangle $BEC$.

(a) Prove that the points $D$, $E$, $F$ are collinear.

(b) Prove that $ID=IF$.

\textit{Recall:} \begin{itemize} \item The incenter of $ABC$ is the intersection of the internal bisectors of $\angle A$, $\angle B$, and $\angle C$. \item The $A$-excenter of $ABC$ is the intersection of the internal bisector of $\angle A$ with the external bisectors of $\angle B$ and $\angle C$. \end{itemize}

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Collinearity DEF e segmento di uguaglianza ID=IF utilizzando incenter e A-excenter

Il punto di eccentricità $ABC$ deve essere un triangolo con incentro $I$ e excentro $A$ (l’accentro opposto al vertice $A$) pari a $K$. Che $D$ sia il piede del bisettore interno dal vertice $A$, che $E$ sia il circoncentro del triangolo $BDK$, e che $F$ sia la seconda intersezione di $AC$ con il circolo circumscritto del triangolo $BEC$.

a) dimostrare che i punti $D$, $E$, $F$ sono collineari.

b) Prove che $ID=IF$.

\textit{Remember:} \begin{itemize} \item L’incentro di $ABC$ è l’intersezione dei bisettori interni di $\angle A$, $\angle B$ e $\angle C$. \item Il $A$-excentro di $ABC$ è l’intersezione del bisector interno di $\angle A$ con i bisector esterni di $\angle B$ e $\angle C$. # Finire #

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Integer-coefficient quadratic with positive real root less than 1/2

The equation $a{x}^2+bx+c=0$, with $a$, $b$, $c$ non-zero integers, has a positive real solution less than $\frac{1}{2}$.

(a) Give an example of an equation satisfying the statement in which two of the numbers $a$, $b$, $c$ are equal to $2025$ and the other has absolute value less than or equal to $2025$. (Recall that $a\ne 0$, $b\ne 0$, $c\ne 0$.)

(b) Prove that at least one of the numbers $a$, $b$, or $c$ has absolute value greater than or equal to $2025$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

quadratico a coefficiente intero con radice reale positiva inferiore a 1/2

L’equazione $a{x}^2+bx+c=0$, con $a$, $b$, $c$ enti non zero, ha una soluzione reale positiva inferiore a $\frac{1}{2}$.

(a) Fornire un esempio di equazione che soddisfi la dichiarazione in cui due dei numeri $a$, $b$, $c$ sono uguali a $2025$ e l’altro ha un valore assoluto inferiore o uguale a $2025$. (Ricordiamo che $a\ne 0$, $b\ne 0$, $c\ne 0$.)

b) dimostrare che almeno uno dei numeri $a$, $b$ o $c$ ha un valore assoluto superiore o uguale a $2025$.

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Minimum size of an obstructive diagonal set in triangulations of convex n-gon

Let $\mathcal{P}$ be a convex polygon with $n$ vertices, $n\ge 4$. We can partition $\mathcal{P}$ into triangles by drawing diagonals that do not intersect in the interior of $\mathcal{P}$. A partition of this type is called a \emph{triangulation}. A set $X$ of diagonals of $\mathcal{P}$ is called \emph{obstructive} if it has the following property: any triangulation of $\mathcal{P}$ uses at least one diagonal belonging to $X$.

Determine, as a function of $n$, the minimum possible number of elements of an obstructive set.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio, Grafi, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di dimensione di una diagonale ostruzionale impostata in triangolazioni di n-gon convex

$\mathcal{P}$ sia un poligono converso con vertici $n$, $n\ge 4$. Possiamo dividere $\mathcal{P}$ in triangoli disegnando diagonali che non si incrociano all’interno di $\mathcal{P}$. Una partizione di questo tipo si chiama triangolazione. Un insieme $X$ di diagonali di $\mathcal{P}$ è chiamato \emph{obstructive} se ha la seguente proprietà: ogni triangolazione di $\mathcal{P}$ utilizza almeno una diagonale appartenente a $X$.

Determinare, come funzione di $n$, il numero minimo possibile di elementi di un insieme ostruzionale.

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