Olimpíada Brasileira de Matemática 2025 — Nível 3 — Fase x

Find positive integer n and 2n non-negative reals with three properties

Prove that there exists a positive integer $n$ and $2n$ non-negative real numbers $0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\text{and}0\le b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$ satisfying the following three properties:

(i) $a_1+a_2+\cdots +a_n\ge 2025^{2025}$;

(ii) $b_1+b_2+\cdots +b_n\ge 2025^{2025}$;

(iii) $c_1+c_2+\cdots +c_n\le \frac{1}{2025^{2025}}$, where $c_i=\min \{a_i,b_i\}$ for every $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Moreover, find all $n$ with this property.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca numeri interi positivi n e 2n reali non negativi con tre proprietà

Prove l’esistenza di un intero positivo $n$ e $2n$ numeri reali non negativi $0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\text{and}0\le b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$ che soddisfano le seguenti tre proprietà:

(i) $a_1+a_2+\cdots +a_n\ge 2025^{2025}$;

(ii) $b_1+b_2+\cdots +b_n\ge 2025^{2025}$;

(iii) $c_1+c_2+\cdots +c_n\le \frac{1}{2025^{2025}}$, dove $c_i=\min \{a_i,b_i\}$ per ogni $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Inoltre, trovare tutti $n$ con questa proprietà.

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Acute triangle with circumcircle; concurrency/collinearity of specific intersection points

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$ and let $\Gamma$ be its circumscribed circle. Define $M$ as the midpoint of side $BC$, and $D$, $E$, $F$ as the feet of the altitudes relative to sides $BC$, $AC$, and $AB$, respectively. Take $N$ as the intersection of $EF$ and $AM$. Let $R$, $S$ be the intersections of $EF$ and $\Gamma$, such that $R$ lies on the arc $AB$ not containing $C$ and $S$ lies on the arc $AC$ not containing $B$. Moreover, suppose that $BS$ and $CR$ meet at point $T$. Show that $DA$ bisects angle $\angle TDN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con circoncircolo; simultaneità/colinearità di punti di intersezione specifici

Che $ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$ e che $\Gamma$ sia il suo cerchio circoscritto. Definire $M$ come punto medio del lato $BC$ e $D$, $E$, $F$ come i piedi delle altitudini rispetto ai lati $BC$, $AC$ e $AB$, rispettivamente. Prendi $N$ come intersezione di $EF$ e $AM$. Il $R$, $S$ siano le intersezioni di $EF$ e $\Gamma$, in modo tale che $R$ sia situato sull’arco $AB$ senza $C$ e $S$ sia situato sull’arco $AC$ senza $B$. Inoltre, supponiamo che $BS$ e $CR$ si incontrino al punto $T$. Indicare che $DA$ divide l’angolo $\angle TDN$.

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Infinite sequence of positive integers with min-difference power-of-2025 condition; prove surjective onto positives

Let $(a_k{)}_{k\ge 1}$ be an infinite sequence of positive integers such that:

(i) $a_1,a_2,\dots ,a_{10000}$ are pairwise distinct positive integers, all different from $2$;

(ii) for $n>10000$, define $a_n$ as the smallest positive integer different from $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ such that $|a_n-a_{n-1}|$ is a power of $2025$ (note that $1$ is a power of $2025$).

Prove that every positive integer appears in the sequence.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza infinita di integri positivi con condizione di potenza di min-differenza di 2025; dimostrare la surgezione sui positivi

Lasciate che $(a_k{)}_{k\ge 1}$ sia una sequenza infinita di integri positivi tale che:

(i) $a_1,a_2,\dots ,a_{10000}$ sono numeri interi positivi separati in coppia, tutti diversi da $2$;

(ii) per $n>10000$ definire $a_n$ come il numero intero positivo più piccolo diverso da $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$ in modo tale che $|a_n-a_{n-1}|$ sia una potenza di $2025$ (nota che $1$ è una potenza di $2025$).

Prova che ogni intero positivo appare nella sequenza.

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Find all positive integers k such that f(n)=nk has a positive integer solution n

For every positive integer $n$, define $f(n)=\lfloor \sqrt{1}\rfloor +\lfloor \sqrt{2}\rfloor +\cdots +\lfloor \sqrt{n}\rfloor .$

Observation: for a real number $x$, $\lfloor x\rfloor$ is defined as the largest integer less than or equal to $x$. For example, $\lfloor \sqrt{1}\rfloor =1$, $\lfloor \sqrt{2}\rfloor =1$, $\lfloor \sqrt{14}\rfloor =3$.

Determine all positive integers $k$ such that there exists a positive integer $n$ satisfying $f(n)=nk$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi k in modo che f(n) =nk abbia una soluzione di integri positivi n

Per ogni intero positivo $n$, definire $f(n)=\lfloor \sqrt{1}\rfloor +\lfloor \sqrt{2}\rfloor +\cdots +\lfloor \sqrt{n}\rfloor .$

Osservazione: per un numero reale $x$, $\lfloor x\rfloor$ è definito come il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Ad esempio, $\lfloor \sqrt{1}\rfloor =1$, $\lfloor \sqrt{2}\rfloor =1$, $\lfloor \sqrt{14}\rfloor =3$.

Determinare tutti gli integri positivi $k$ in modo tale che esista un intero positivo $n$ soddisfacente $f(n)=nk$.

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Polygon triangulation: minimum size of obstructive diagonal set

Let $\mathcal{P}$ be a convex polygon with $n$ vertices, $n\ge 4$. We can partition $\mathcal{P}$ into triangles by drawing diagonals that do not intersect in the interior of $\mathcal{P}$. A partition of this type is called a triangulation. A set $X$ of diagonals of $\mathcal{P}$ is called obstructive if it has the following property:

Any triangulation of $\mathcal{P}$ uses at least one diagonal belonging to the set $X$.

Determine, as a function of $n$, the minimum possible number of elements of an obstructive set.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Grafi Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Triangolazione poligonale: dimensione minima dell’insieme di diagonali ostruzionali

$\mathcal{P}$ sia un poligono converso con vertici $n$, $n\ge 4$. Possiamo dividere $\mathcal{P}$ in triangoli disegnando diagonali che non si incrociano all’interno di $\mathcal{P}$. Una partizione di questo tipo è chiamata triangolazione **. Un insieme $X$ di diagonali di $\mathcal{P}$ si chiama obstruttivo se ha la seguente proprietà:

Qualsiasi triangolazione di $\mathcal{P}$ utilizza almeno una diagonale appartenente al set $X$.

Determinare, come funzione di $n$, il numero minimo possibile di elementi di un insieme ostruzionale.

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Convex quadrilateral ABCD with angle condition; partition family of tangent lines into 8 concurrent/parallel sets

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral satisfying $90^{\circ }>\angle ABC>\angle CDA>\angle DAB$. Let $\mathcal{R}$ be the set of all lines $\ell$ such that there exists a circle tangent to the four reflections of $\ell$ across the four sides of the quadrilateral $ABCD$. Prove that $\mathcal{R}$ can be partitioned into $8$ groups so that the lines of each group are all concurrent or all parallel.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Simmetria, Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD convex quadrilaterale con condizione angolare; famiglia di partizioni di linee tangenti in 8 insieme simultanei/paralleli

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convesso che soddisfi $90^{\circ }>\angle ABC>\angle CDA>\angle DAB$. $\mathcal{R}$ sia l’insieme di tutte le linee $\ell$ in modo tale che esista un cerchio tangente alle quattro riflessioni di $\ell$ attraverso i quattro lati del quadrilaterale $ABCD$. Prova che $\mathcal{R}$ può essere suddiviso in gruppi $8$ in modo che le linee di ciascun gruppo siano tutte simultanee o tutte parallele.

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