Olimpíada Brasileira de Matemática 2025 — Nível Universitário — Fase x

No continuous function asymptotic to prime-counting function

Let $\pi (x)$ denote the number of positive primes less than or equal to $x$, for $x\in \mathbb{R}$. Show that there is no continuous function $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$ satisfying ${\lim }_{t\to \infty }(f(x)-\pi (x))=0$.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nessuna funzione continua asimptotica alla funzione di conteggio primario

$\pi (x)$ indica il numero di numeri primi positivi inferiori o uguali a $x$, per $x\in \mathbb{R}$. Indicare che non esiste una funzione continua $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$ che soddisfi ${\lim }_{t\to \infty }(f(x)-\pi (x))=0$.

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Integer sequences; infinitely many N and M with ratio conditions

Determine whether there exist integers $a,b,c,d$ such that the sequences $(a_n{)}_{n\ge 0}$ and $({\beta }_n{)}_{n\ge 0}$ defined by $a_0={\beta }_0=0;$ $a_1={\beta }_1=1;$ $a_{n+2}=a{a}_{n+1}+b{a}_n\text{ for }n\ge 0;$ ${\beta }_{n+2}=c{\beta }_{n+1}+d{\beta }_n\text{ for }n\ge 0;$ satisfy ${\beta }_n\ne 0$ for all $n\ge 1$, and both of the following conditions:

(i) There exist infinitely many natural numbers $N$ such that $1-\frac{1}{2^{2025}}<\left|\frac{a_N}{{\beta }_N}\right|<1+\frac{1}{2^{2025}}.$

(ii) There exist infinitely many natural numbers $M$ such that $\left|\frac{a_M}{{\beta }_M}\right|>2^{2025}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenze integrali; infinite N e M con condizioni di rapporto

Determinare se esistono numeri interi $a,b,c,d$ in modo che le sequenze $(a_n{)}_{n\ge 0}$ e $({\beta }_n{)}_{n\ge 0}$ definite da $a_0={\beta }_0=0;$ $a_1={\beta }_1=1;$ $a_{n+2}=a{a}_{n+1}+b{a}_n\text{ for }n\ge 0;$ ${\beta }_{n+2}=c{\beta }_{n+1}+d{\beta }_n\text{ for }n\ge 0;$ soddisfino ${\beta }_n\ne 0$ per tutti i $n\ge 1$ e entrambe le seguenti condizioni:

(i) Esistono infiniti numeri naturali $N$ tali che $1-\frac{1}{2^{2025}}<\left|\frac{a_N}{{\beta }_N}\right|<1+\frac{1}{2^{2025}}.$

(ii) Esistono infinitamente molti numeri naturali $M$ talmente che $\left|\frac{a_M}{{\beta }_M}\right|>2^{2025}.$

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Minimum-modulus elements under invertible linear maps on R^2

Given a nonempty set $X\subset {\mathbb{R}}^k$, $k\in \{2,3\}$, we say that $q$ is of minimum modulus in $X$ if $q\in X$ and $|q|\le |p|$ for all $p\in X$.

(a) Let $A:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ be an invertible linear transformation, and let $\Lambda =A({\mathbb{Z}}^2)=\{A(x,y)\mid x,y\in \mathbb{Z}\}.$ Suppose $u$ is of minimum modulus in $\Lambda \setminus \{(0,0)\}$ and $v$ is of minimum modulus in $\Lambda \setminus \{tu\mid t\in \mathbb{R}\}$. Prove that $\Lambda =\{ku+mv\mid k,m\in \mathbb{Z}\}$.

(b) Let $B:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ be an invertible linear transformation, and let $\Gamma =B({\mathbb{Z}}^3)=\{B(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb{Z}\}.$ Suppose $u$ is of minimum modulus in $\Gamma \setminus \{(0,0)\}$, $v$ is of minimum modulus in $\Gamma \setminus \{tu\mid t\in \mathbb{R}\}$, and $w$ is of minimum modulus in $\Gamma \setminus \{tu+sv\mid t,s\in \mathbb{R}\}$. Prove that $\Gamma =\{ku+mv+nw\mid k,m,n\in \mathbb{Z}\}$.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Elementi di modulo minimo sotto mappe lineari invertibili su R^2

Dato un insieme non vuoto $X\subset {\mathbb{R}}^k$, $k\in \{2,3\}$, diciamo che $q$ è di ** modulo minimo ** in $X$ se $q\in X$ e $|q|\le |p|$ per tutti $p\in X$.

(a) Che $A:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ sia una trasformazione lineare invertibile, e che $\Lambda =A({\mathbb{Z}}^2)=\{A(x,y)\mid x,y\in \mathbb{Z}\}.$ Supponga che $u$ abbia modulo minimo in $\Lambda \setminus \{(0,0)\}$ e $v$ abbia modulo minimo in $\Lambda \setminus \{tu\mid t\in \mathbb{R}\}$. Prove che $\Lambda =\{ku+mv\mid k,m\in \mathbb{Z}\}$.

b) Che $B:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ sia una trasformazione lineare invertibile, e che $\Gamma =B({\mathbb{Z}}^3)=\{B(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb{Z}\}.$ Supponga che $u$ abbia un modulo minimo in $\Gamma \setminus \{(0,0)\}$, $v$ abbia un modulo minimo in $\Gamma \setminus \{tu\mid t\in \mathbb{R}\}$ e $w$ abbia un modulo minimo in $\Gamma \setminus \{tu+sv\mid t,s\in \mathbb{R}\}$. Prove che $\Gamma =\{ku+mv+nw\mid k,m,n\in \mathbb{Z}\}$.

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Matrices satisfying AB=P(A) imply A invertible and AB=BA

Let $A,B\in M(n,\mathbb{C})$, i.e., $A,B$ are $n\times n$ matrices with entries in $\mathbb{C}$, and let $P\in \mathbb{C}[X]$ be a non-constant polynomial such that $P(0)\ne 0$ and $AB=P(A)$. Prove that the matrix $A$ is invertible and that $A$ and $B$ commute (that is, $AB=BA$).

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Matrici che soddisfano AB=P(A) implicano A invertibile e AB=BA

Lasciate che $A,B\in M(n,\mathbb{C})$, cioè $A,B$ siano matrici $n\times n$ con voci in $\mathbb{C}$, e lasciate che $P\in \mathbb{C}[X]$ sia un polinomio non costante tale che $P(0)\ne 0$ e $AB=P(A)$. Prova che la matrice $A$ è invertibile e che $A$ e $B$ viaggiano (cioè $AB=BA$).

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Sequences of positive terms: divergence and convergence of series

(a) Let $(a_n{)}_{n\ge 1}$ be a decreasing sequence of positive terms such that the series ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n}$ diverges. Prove that for any increasing sequence $(n_k{)}_{k\ge 1}$ of positive integers with $\frac{n_{k+1}}{n_k}$ bounded, the series ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{n_k}$ diverges.

(b) Let $(a_n{)}_{n\ge 1}$ be a sequence of positive terms such that the series ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n}$ converges. Prove that there exists an increasing sequence $(n_k{)}_{k\ge 1}$ of positive integers with ${\lim }_{k\to \infty }\frac{n_{k+1}}{n_k}=1$ such that the series ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{n_k}$ converges.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenze di termini positivi: divergenza e convergenza delle serie

(a) Che la serie $(a_n{)}_{n\ge 1}$ sia una sequenza diminuente di termini positivi in modo tale che la serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n}$ diverga. Prove che per ogni sequenza in aumento $(n_k{)}_{k\ge 1}$ di numeri interi positivi con $\frac{n_{k+1}}{n_k}$ limitato, la serie ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{n_k}$ diverge.

b) Che il $(a_n{)}_{n\ge 1}$ sia una sequenza di termini positivi tale che la serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n}$ converga. Prove che esiste una sequenza crescente $(n_k{)}_{k\ge 1}$ di integri positivi con ${\lim }_{k\to \infty }\frac{n_{k+1}}{n_k}=1$ tale da far convergere la serie ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{n_k}$.

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Möbius maps on (-1,1) via tanh; find minimum contraction factor

(a) Let $g:\mathbb{R}\to (-1,1)$ be the bijection given by $g(x)=\tanh (x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$ Given $r\in [0,1)$, prove that there exists $\lambda (r)\in [0,1)$ with the following property: for every rational function $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ with $a,b,c,d$ real numbers and $|d|>|c|$ such that $f((-1,1))\subset (-r,r)$, we have $|(g^{-1}\circ f\circ g)(x)|\le \lambda (r)$ for all $x\in \mathbb{R}$.

(b) Determine the smallest $\lambda =\lambda (r)$ possible in part (a).

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Möbius mappe su (-1,1) via tanh; trovare il fattore minimo di contrazione

(a) Che $g:\mathbb{R}\to (-1,1)$ sia la bijezione data da $g(x)=\tanh (x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$ Data $r\in [0,1)$, dimostri che esiste $\lambda (r)\in [0,1)$ con la seguente proprietà: per ogni funzione razionale $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ con $a,b,c,d$ numeri reali e $|d|>|c|$ tale che $f((-1,1))\subset (-r,r)$, abbiamo $|(g^{-1}\circ f\circ g)(x)|\le \lambda (r)$ per tutti $x\in \mathbb{R}$.

b) Determinare il minimo $\lambda =\lambda (r)$ possibile nella parte (a).

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