Olympiades Nationales de Mathématiques (Première) 2024

Exercise 1 (all candidates): ten short, mostly independent problems on percentages, grading, weighings, glass shape, golden ratio, articulated quadrilateral, corner mirrors, tape roll, and sorting a table.

Exercise 1 (all candidates) — Plus fort!

In this exercise, all questions and sub-questions are, to a large extent, independent. Starting from question 7, some increase in difficulty. All answers must be justified.

1. Percentages for all ages.

a. Is it exact that, for all positive real numbers $x$ and $y$, $x\%$ of $y$ euros equals $y\%$ of $x$ euros? Deduce, without a complicated calculation, the value of $32\%$ of $25$ euros.

b. Is it exact that, during the sales, after $4$ consecutive reductions of $25\%$, an item becomes free?

c. We pass from a price excluding tax (HT, hors taxe) to a price including all taxes (TTC, toutes taxes comprises) by increasing the HT price by $20\%$. If the TTC price of an item is $2$ times higher in one shop than in another, is the HT price also $2$ times higher?

2. Double meaning. Give two very different reformulations of the question « What number gives $51$ when one multiplies it by $0.01$ and then raises it by $1$? » so as to remove the ambiguity, and provide the two different answers.

3. The secret of 20/20. An exam subject, graded out of $20$, is composed of an exercise graded out of $5$ and a problem graded out of $15$. A candidate receives the grade $4$ out of $5$ on the exercise and $3$ out of $15$ on the problem. What is the candidate’s grade out of $20$? However, the fractional calculation shows that $\frac{4}{5}+\frac{3}{15}=\frac{20}{20}$ (result to be justified); advance a reason that would give the candidate $20$ out of $20$ (the paradox), then demonstrate that, in the same context of an exercise out of $5$ and a problem out of $15$, this calculation always gives a better result than the first one.

4. Finding the intruder. One has a two-pan balance as in the figure on the right. Among $5$ oranges indistinguishable by touch and by sight — $4$ of them weigh exactly the same and $1$ is slightly lighter — propose a procedure to detect, in at most $2$ weighings, the lighter orange. Now consider $2024$ oranges indistinguishable by touch and by sight, of which $2023$ weigh exactly the same and $1$ is slightly lighter; propose a procedure permitting, in at most $10$ weighings, to detect the lighter orange.

5. Tchin! A glass is shown in a meridian cross-section (unit: cm; the figure is not to scale; the inner and outer walls are parallel). A second glass of the same model is stacked on it. To what height does the assembly rise? Accompany your answer with a sketch.

6. The beginning of wealth. Two identical rectangles $ABCD$ and $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ of width $\ell$ and length $L>\ell$ are placed side by side as in the figure on the right, the first laid horizontally and the second standing vertically. Show that the points $A$, $C$, $B^{\prime }$ are collinear when $\frac{L}{\ell }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. (After the exam, try with two rectangles in CB format (« carte bleue », a bank card); you will see, it works!)

7. What shape!? A rectangle $ABCD$ is articulated at its four vertices. It can therefore deform into a parallelogram, then into a contra-parallelogram by playing on the opening $\theta =\widehat{(\vec{CB},\vec{CD})}$ as shown below. Draw the configurations obtained when the angles measure successively $\theta =120^{\circ }$, then $\theta =180^{\circ }$, then $\theta =225^{\circ }$. Leave the construction lines visible and choose $DC$ three times larger than $AD$. One then has four parallelepiped-shaped rods (pierced at their extremities): two long and two short (the long ones being three times longer than the short ones), and four bolts (one bolt being composed of one screw and one nut). Draw in perspective the possible assemblies allowing an articulated parallelogram to be built with these supplies. However, which is the only assembly that allows the mechanism to deform up to the contra-parallelogram?

8. Just for your eyes. A corner of a cube is constituted of three mutually perpendicular mirrors. In general, an incident ray that hits one of the mirrors is then reflected on the other two before leaving. For example, on the diagram on the right, the luminous ray rebounds three times: it first strikes the front face, then the right lateral face, then the upper face. Explain why the departing ray is parallel to the incoming ray. Deduce the use of such a device for making the retroreflectors (catadioptres) placed at the rear of bicycles and automobiles.

9. A roll of adhesive tape has inner radius $R=1.8$ cm and outer radius $R^{\prime }=2.6$ cm. The adhesive tape is $25$ m long. Determine, as precisely as possible, the thickness of the tape.

10. A table of $n$ rows and $p$ columns contains real numbers. We rearrange each row from left to right in increasing order, then each column in turn from bottom to top in increasing order (here $n=3$ and $p=5$). Demonstrate that after this second operation each row remains sorted, always in increasing order from left to right.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Geometria piana, Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Simmetria, Conteggio, Coordinate Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Esercizio 1 (tutti i candidati): dieci problemi brevi, per lo più indipendenti sulle percentuali, la classificazione, i pesi, la forma del vetro, il rapporto dorato, i quadrilaterali articolati, gli specchi angolari, il rotolo del nastro e la classificazione di una tavola.

L’esercizio 1 (tutti i candidati)

In questo esercizio, tutte le domande e le sotto-missioni sono, in larga misura, indipendenti. A partire dalla domanda 7, la difficoltà è aumentata. Tutte le risposte devono essere giustificate.

1. Percentuali per tutte le età.

a. È esatto che, per tutti i numeri reali positivi $x$ e $y$, $x\%$ di euro $y$ è uguale a $y\%$ di euro $x$? Riduzione, senza un calcolo complicato, del valore di $32\%$ di $25$ euro.

b. È esatto che, durante le vendite, dopo $4$ riduzioni consecutive di $25\%$, un articolo diventi gratuito?

c. Passiamo da un prezzo escluso dalla tassa (HT, hors tax) a un prezzo incluso da tutte le tasse (TTC, incluse tutte le tasse) aumentando il prezzo HT di $20\%$. Se il prezzo TTC di un articolo è $2$ volte superiore in un negozio rispetto ad un altro, è il prezzo HT anche $2$ volte superiore?

2. Doppio significato. Date due riformulazioni molto diverse della domanda Quale numero dà $51$ quando si moltiplica con $0.01$ e poi si alza con $1$? in modo da rimuovere l’ambiguità e fornire le due risposte diverse.

3. Il segreto del 20/20. Un soggetto di esame, classificato fuori di $20$, è composto da un esercizio classificato fuori di $5$ e da un problema classificato fuori di $15$. Un candidato riceve il grado $4$ da $5$ sull’esercizio e $3$ da $15$ sul problema. Qual è il grado del candidato in $20$? Tuttavia, il calcolo frazionario dimostra che $\frac{4}{5}+\frac{3}{15}=\frac{20}{20}$ (il risultato è giustificato); proporre un motivo che possa dare al candidato $20$ di $20$ (il paradosso), e poi dimostrare che, nello stesso contesto di un esercizio di $5$ e di un problema di $15$, questo calcolo dà sempre un risultato migliore del primo.

4. Trovare l’intruso. Uno ha un equilibrio a due pannelli come nella figura a destra. Tra le arance $5$ indistinguibili dal tatto e dalla vista $4$ di esse pesano esattamente la stessa quantità e $1$ è leggermente più leggera si propone una procedura per rilevare, nel massimo dei pesi $2$, l’arancione più leggero. Ora consideriamo le arance $2024$ indistinguibili dal tatto e dalla vista, di cui $2023$ pesa esattamente la stessa e $1$ è leggermente più leggera; proponiamo una procedura che permetta di rilevare l’arancia più leggera, nel massimo dei pesi $10$.

5. Tchin! Un vetro è mostrato in sezione trasversale del meridiano (unità: cm; la figura non è a scala; le pareti interne ed esterne sono parallele). Un secondo bicchiere dello stesso modello è messo su di esso. A che altezza salire l’assemblea? Accompagna la tua risposta con uno schizzo.

6. L’inizio della ricchezza. Due rettangoli identici $ABCD$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ di larghezza $\ell$ e lunghezza $L>\ell$ sono posizionati fianco a fianco come nella figura a destra, il primo posizionato orizzontalmente e il secondo in posizione verticale. Indicare che i punti $A$, $C$, $B^{\prime }$ sono collineari quando $\frac{L}{\ell }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. (Dopo l’esame, prova con due rettangoli in formato CB ( carte bleue , una carta bancaria); vedrai che funziona!)

7. Quale forma!? Un rettangolo $ABCD$ è articolato ai suoi quattro vertici. Può quindi deformarsi in un parallelo e poi in un contraparallelo giocando sull’apertura $\theta =\widehat{(\vec{CB},\vec{CD})}$ come mostrato di seguito. Disegnare le configurazioni ottenute quando gli angoli misurano successivamente $\theta =120^{\circ }$, quindi $\theta =180^{\circ }$, quindi $\theta =225^{\circ }$. Lasciare visibili le linee di costruzione e scegliere $DC$ tre volte più grande di $AD$. Uno ha quindi quattro barre a forma di parallelepiped (percette alle loro estremità): due lunghe e due corte (le lunghe sono tre volte più lunghe di quelle corte) e quattro bulloni (un bullone è composto da una vite e un nodo). Disegnare in prospettiva i possibili assemblaggi che consentono di costruire un parallelo articolato con questi materiali. Tuttavia, quale è l’unico assemblaggio che consente al meccanismo di deformarsi fino al contraparallelogramma?

8. Solo per gli occhi. Un angolo di cubo è costituito da tre specchi reciprocamente perpendicolari. In generale, un raggio incidente che colpisce uno degli specchi viene poi riflettuto sugli altri due prima di partire. Ad esempio, sul diagramma a destra, il raggio luminoso rimbalza tre volte: prima colpisce la faccia anteriore, poi la faccia laterale destra, poi la faccia superiore. Spiegate perché il raggio in partenza è parallelo al raggio in entrata. Riduzione dell’uso di tale dispositivo per la realizzazione dei retroreflettori (catadioptri) posizionati nella parte posteriore delle biciclette e delle automobili.

**9. ** Un rotolio di nastro adesivo ha un raggio interno $R=1.8$ cm e un raggio esterno $R^{\prime }=2.6$ cm. Il nastro adesivo è lungo $25$ m. Determinare, il più precisamente possibile, lo spessore del nastro.

10. Una tabella di righe $n$ e colonne $p$ contiene numeri reali. Riordiniamo ogni riga da sinistra a destra in ordine crescente, poi ogni colonna a sua volta dal basso verso l’alto in ordine crescente (qui $n=3$ e $p=5$). Dimostra che dopo questa seconda operazione ogni riga rimane ordinata, sempre in ordine crescente da sinistra a destra.

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Exercise 2 (general track, maths speciality): STD sets (all subset sums distinct) — examples/counterexamples, a recursive sequence shown to be geometric, and lower bounds for STD sequences using a probabilistic (variance) argument.

Exercise 2 (candidates of the general track following the « spé maths » option)

We sum all distinct numbers (Nous sommes toutes distinctes).

In this exercise, the symbol $n$ denotes a natural integer with $n\ge 1$; all sets considered are non-empty, finite, and consist of distinct real numbers; moreover, every finite set $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ of $n$ distinct real elements will be written with its elements ordered as $a_1<a_2<\cdots <a_n$. Given such a set, we write $S(A)$ for the sum of its elements, that is $S(A)=a_1+\cdots +a_n$. In particular, when $n=1$ and $A=\{a_1\}$ is a singleton, $S(A)=a_1$.

We say the set $A$ is STD (à sommes toutes distinctes, i.e. all subset sums distinct) when, for all non-empty subsets $Y$ and $Z$ of $A$ with $Y\ne Z$, one has $S(Y)\ne S(Z)$. Equivalently, the $2^n-1$ sums one can form with the elements of $A$ are all distinct.

For example, $A=\{1,2,5\}$ is STD since the numbers $1,2,5,1+2=3,2+5=7,1+5=6,1+2+5=8$ are all distinct. In contrast, $A=\{2,4,6,7\}$ is not STD because, taking $Y=\{2,4,7\}$ and $Z=\{6,7\}$, one has $S(Y)=2+4+7=13=S(Z)$, although $Y\ne Z$.

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Part 1 — Examples and simple counter-examples

1. Explain why the number of sums to consider in order to study the STD character of $A$ is $2^n-1$.

2. Show that the set $\{1,3,5\}$ is STD but that the set $\{4,6,7,9\}$ is not.

3. Which set(s) $A$ containing $0$ is (are) STD?

4. Let $A$ and $B$ be two non-empty finite sets of distinct reals, with $A\subset B$ (that is, $A$ is a subset of $B$).

a. If $B$ is STD, justify that $A$ is also STD.

b. Can the set $B$ be STD if $A$ is not?

5. Let $A$ be a non-empty finite set of $n$ distinct reals. Suppose that $A$ is not constituted of integers and that it is STD. Justify that $A\cup \{\frac{1}{2}\}$, then that $A\cup \{\frac{1}{2},\sqrt{2}\}$, are also STD.

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Part 2 — Construction of a sequence

We consider the sequence $(u_n)$ defined by $u_1=1$ and the recurrence relation, valid for all $n\ge 1$: $u_{n+1}=u_1+\cdots +u_n+1.$

6. Verify that $u_2=2$ and $u_3=4$. Calculate $u_5$.

7. Write on your copy a program in the Python language that would return $u_{100}$ (which we will not actually compute).

8. Study the direction of variation (monotonicity) of the sequence $(u_n)$.

9. Show that, for all $n\ge 1$, the set $\{u_1,\dots ,u_n\}$ is STD.

10. Show that $(u_n)$ is in fact a geometric sequence, which you will determine.

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Part 3 — STD sequences

A sequence $(u_n)$ is said to be STD when it is strictly increasing, composed of strictly positive integers, and such that for all $n\ge 1$ the set $\{u_1,\dots ,u_n\}$ is STD. For example, the sequence studied in Part 2 is an STD sequence.

11. Let $(u_n)$ be an arbitrary STD sequence.

a. Show that for all $n\ge 1$: $u_1+\cdots +u_n\ge 2^n-1.$

b. Deduce that for all $n\ge 2$: $u_n\ge \frac{2^n}{n}.$

12. The goal of this question is to refine the lower bound obtained in the previous question. To do this, we will use probability, and we will say that a random variable $X$ taking values in a non-empty finite real set $A=\{a_1,\dots ,a_n\}$ of $n$ distinct elements follows the uniform law when all the values it can take are equiprobable. Thus, $P(X=a_1)=P(X=a_2)=\cdots =P(X=a_n)=\frac{1}{n}$.

a. Let $(u_n)$ be an arbitrary STD sequence. For $n\ge 2$, consider the independent random variables $X_1,\dots ,X_n$ that follow the uniform law on the set $\{-1,1\}$; thus, for each index $i$, $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$. Set $X=u_1{X}_1+\cdots +u_n{X}_n$. We admit that $E(X)=u_{1}E(X_1)+\cdots +u_{n}E(X_n)$ and that $V(X)=u_1^{2}V(X_1)+\cdots +u_n^{2}V(X_n)$. After justifying that $E(X_1)=0$ and $V(X_1)=1$, calculate the expectation $E(X)$ and express the variance $V(X)$ in terms of $u_1,u_2,\dots ,u_n$.

b. Show that $X$ follows a uniform law on a set of $2^n$ relative integers, symmetric with respect to $0$, and whose elements are non-zero and of the same parity.

c. Deduce that for all $n\ge 1$: $u_n^2\ge \frac{1}{n}\frac{1}{2^{n-1}}\left(1^2+3^2+5^2+\cdots +(2^n-1{)}^2\right).$

d. Propose a value of $n\ge 2$ for which this inequality furnishes a lower bound larger than that of question 11.b.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Probabilità, Insiemi e funzioni, Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Ricorsione, Conteggio, Disuguaglianze, Casework Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Esercizio 2 (traccia generale, specialità matematica): set di STD (tutti i sottosetti sommano distinte) esempi/contresempi, una sequenza ricorsiva dimostrata geometrica, e limiti inferiori per le sequenze di STD utilizzando un argomento probabilistico (varianza).

**Esercizio 2 (candidati della pista generale seguendo l’opzione spé maths ) **

*Summiamo tutti i numeri distinti (Nous sommes toutes distinctes). *

In questo esercizio, il simbolo $n$ indica un intero naturale con $n\ge 1$; tutti gli insiemi considerati sono non vuoti, finiti e costituiti da numeri reali distinti; inoltre, ogni insieme finito $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ di $n$ elementi reali distinti verrà scritto con i suoi elementi ordinati come $a_1<a_2<\cdots <a_n$. Dato un tale insieme, scriviamo $S(A)$ per la somma dei suoi elementi, cioè $S(A)=a_1+\cdots +a_n$. In particolare, quando $n=1$ e $A=\{a_1\}$ è un singleton, $S(A)=a_1$.

Diciamo che l’insieme $A$ è STD (à sommes toutes distinctes, cioè tutte le somme del sottoinsieme distinte) quando, per tutti i sottoinsiemi non vuoti $Y$ e $Z$ di $A$ con $Y\ne Z$, si ha $S(Y)\ne S(Z)$. Allo stesso modo, le somme $2^n-1$ che si possono formare con gli elementi di $A$ sono tutte distinte.

Ad esempio, $A=\{1,2,5\}$ è STD poiché i numeri $1,2,5,1+2=3,2+5=7,1+5=6,1+2+5=8$ sono tutti distinti. Al contrario, $A=\{2,4,6,7\}$ non è STD perché, assumendo $Y=\{2,4,7\}$ e $Z=\{6,7\}$, si ha $S(Y)=2+4+7=13=S(Z)$, anche se $Y\ne Z$.

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Parte 1 Esempi e semplici contro-esempi

1. Spiega perché il numero di somme da considerare per studiare il carattere STD di $A$ è $2^n-1$.

2. Indicare che il set $\{1,3,5\}$ è STD ma che il set $\{4,6,7,9\}$ non lo è.

Quale set di $A$ contenente $0$ è (sono) STD?

4. $A$ e $B$ siano due insieme finiti non vuoti di reali distinti, con $A\subset B$ (cioè $A$ è un sottoinsieme di $B$).

a. Se $B$ è STD, giustificare che $A$ è anche STD.

b. Il set $B$ può essere STD se $A$ non lo è?

5. $A$ sia un insieme finito non vuoto di $n$ reali distinte. Supponiamo che $A$ sia ** non ** costituito da integri e che sia STD. giustificare che $A\cup \{\frac{1}{2}\}$, quindi $A\cup \{\frac{1}{2},\sqrt{2}\}$, siano anche malattie sessualmente trasmissibili.

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Parte 2 Costruzione di una sequenza

Consideriamo la sequenza $(u_n)$ definita da $u_1=1$ e la relazione di ricorrenza, valida per tutti $n\ge 1$: $u_{n+1}=u_1+\cdots +u_n+1.$

**6. ** Verificare che $u_2=2$ e $u_3=4$. Calcolare $u_5$.

7. Scrivi sulla tua copia un programma nel linguaggio Python che restituisca $u_{100}$ (che in realtà non calcoleremo).

**8. ** Studiare la direzione di variazione (monotonicità) della sequenza $(u_n)$.

9. Mostra che, per tutti $n\ge 1$, l’insieme $\{u_1,\dots ,u_n\}$ è STD.

10. Mostra che $(u_n)$ è in realtà una sequenza geometrica, che determinerai.

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Parte 3 Sequenze di STD

Una sequenza $(u_n)$ si dice STD quando è in aumento rigoroso, composta da integri rigorosamente positivi, e tale che per tutti $n\ge 1$ l’insieme $\{u_1,\dots ,u_n\}$ sia STD. Per esempio, la sequenza studiata nella Parte 2 è una sequenza di malattie sessualmente trasmissibili.

11. $(u_n)$ sia una sequenza di STD arbitraria.

a. Indicare che per tutti i $n\ge 1$: $u_1+\cdots +u_n\ge 2^n-1.$

b. Deduce che per tutti $n\ge 2$: $u_n\ge \frac{2^n}{n}.$

L’obiettivo di questa domanda è quello di perfezionare il limite inferiore ottenuto nella domanda precedente. Per fare questo, useremo la probabilità, e diremo che una variabile casuale $X$ che prende valori in un insieme reale finito non vuoto $A=\{a_1,\dots ,a_n\}$ di $n$ elementi distinti segue la legge uniforme quando tutti i valori che può prendere sono equiprobabili. Quindi, $P(X=a_1)=P(X=a_2)=\cdots =P(X=a_n)=\frac{1}{n}$.

a. $(u_n)$ sia una sequenza di STD arbitraria. Per $n\ge 2$, considera le variabili casuali indipendenti $X_1,\dots ,X_n$ che seguono la legge uniforme sull’insieme $\{-1,1\}$; quindi, per ogni indice $i$, $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$. Set $X=u_1{X}_1+\cdots +u_n{X}_n$. Ammettiamo che $E(X)=u_{1}E(X_1)+\cdots +u_{n}E(X_n)$ e che $V(X)=u_1^{2}V(X_1)+\cdots +u_n^{2}V(X_n)$. Dopo aver giustificato $E(X_1)=0$ e $V(X_1)=1$, calcolare l’aspettativa $E(X)$ ed esprimere la varianza $V(X)$ in termini di $u_1,u_2,\dots ,u_n$.

b. Indicare che $X$ segue una legge uniforme su un insieme di integri relativi $2^n$, simmetrici rispetto a $0$, i cui elementi non sono zero e della stessa parità.

c. Deduci che per tutti $n\ge 1$: $u_n^2\ge \frac{1}{n}\frac{1}{2^{n-1}}\left(1^2+3^2+5^2+\cdots +(2^n-1{)}^2\right).$

d. Proporre un valore di $n\ge 2$ per il quale questa disuguaglianza fornisce un limite inferiore maggiore di quello della domanda 11.b.

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Exercise 3 (general track without maths speciality, and all technological track): Pascal pyramids of absolute differences — construction, counting entries, perfect pyramids, and where the largest entry must lie via a greatest-neighbour path argument.

Exercise 3 (candidates of the general track NOT following the « spé maths » option AND ALL candidates of the technological track)

Pascal Pyramids (Pyramides de Pascal)

A Pascal pyramid is a triangular array of natural integers formed in the following manner: its top line contains one number, the next two numbers, etc. Moreover, on every line except the last (the one at the bottom), each number must equal the distance between the two numbers situated just below it, one to its left and the other to its right (i.e. the absolute difference). Below is represented, in a few steps, the construction of such a triangle with $4$ lines (for instance, from the base line $8,4,10,7$ one obtains $4,6,3$, then $2,3$, then $1$).

1. Preliminary question. Recall why the sum $1+2+\cdots +n$ of the first $n$ positive integers, with $n\ge 1$, equals $\frac{n(n+1)}{2}$.

2. Some examples.

a. Construct the Pascal pyramid with $4$ lines whose last line is constituted, in this order of exposition, of the integers $4,3,9$ and $7$ ($4$ is therefore at the far left and $7$ at the far right).

b. Construct a Pascal pyramid with $3$ lines using exclusively the integers $1$, $2$, $3$.

3. Number of integers in a Pascal pyramid.

a. How many numbers (distinct or not) are written in a Pascal pyramid with $3$ lines? With $4$ lines?

b. Let $n\ge 2$. How many numbers (distinct or not) are written in a Pascal pyramid with $n$ lines?

In what follows, we say a Pascal pyramid is perfect if it contains exactly once each of the integers between $1$ and the total number of integers of the triangle. For example, the Pascal pyramid with $3$ lines having top $2$, middle line $3$ $5$, and base line $4$ $1$ $6$ is perfect.

4. Let $n\ge 2$. Show that if a perfect pyramid with $n$ lines exists, then the largest integer it possesses is situated on the bottom line. What is this integer?

5. Construct a perfect Pascal pyramid with $3$ lines in which the number $6$ is situated at the bottom and in the middle.

6. The object of this question is to show that in a perfect Pascal pyramid with $n$ lines, and except when $n\le 3$, the number $n(n+1)/2$ cannot be situated either at the bottom far right or at the bottom far left.

a. Justify that it suffices to establish that it cannot be situated at the bottom far right. We assume in what follows that the number $n(n+1)/2$ is situated at the bottom far right.

b. Consider then the path that starts from the top of the pyramid and descends progressively, connecting the number reached on each line to the larger of the two numbers of the line below situated to its left and to its right. In the example above question 4 this path would be $2\to 5\to 6$. Show that, in the general case, this path can only follow the right edge of the pyramid and end at $n(n+1)/2$.

c. Conclude by considering the equilateral triangle whose bottom base is composed of the $n-2$ leftmost numbers of the last line.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Esercizio 3 (traccia generale senza specialità matematica, e tutta la traccia tecnologica): Piramide di Pascal di differenze assolute costruzione, conteggio delle entrate, piramidi perfette, e dove la più grande entrata deve essere attraverso un argomento di percorso più grande vicino.

**Esercizio 3 (candidati della pista generale NON seguendo l’opzione spé maths E TUTTI i candidati della pista tecnologica) **

*Piramidi di Pascal (Piramidi di Pascal) *

Una piramide Pascal è un array triangolare di numeri interi naturali formato in modo seguente: la sua linea superiore contiene un numero, i due numeri successivi, ecc. Inoltre, su ogni linea, tranne l’ultima (la di sotto), ogni numero deve essere uguale alla distanza tra i due numeri situati appena sotto di esso, uno a sinistra e l’altro a destra (cioè la differenza assoluta). Qui di seguito è rappresentata, in pochi passi, la costruzione di un triangolo con linee $4$ (ad esempio, dalla linea di base $8,4,10,7$ si ottiene $4,6,3$, quindi $2,3$, quindi $1$).

1. Domanda preliminare. Ricordi perché la somma $1+2+\cdots +n$ dei primi $n$ enti interi positivi, con $n\ge 1$, è uguale a $\frac{n(n+1)}{2}$.

2. Alcuni esempi.

a. Costruire la piramide Pascal con linee $4$ la cui ultima linea è costituita, in questo ordine di esposizione, dai numeri interi $4,3,9$ e $7$ ($4$ è quindi all’estrema sinistra e $7$ all’estrema destra).

b. Costruire una piramide di Pascal con linee $3$ utilizzando esclusivamente gli integri $1$, $2$, $3$.

3. Numero di integri in una piramide di Pascal.

a. Quanti numeri (distinti o meno) sono scritti in una piramide Pascal con linee $3$? Con linee $4$?

b. Lasciate $n\ge 2$. Quanti numeri (distinti o meno) sono scritti in una piramide di Pascal con linee $n$?

In quanto segue, diciamo che una piramide di Pascal è perfetta se contiene esattamente una volta ciascuno dei numeri interi tra$1$e il numero totale di numeri interi del triangolo. Ad esempio, la piramide Pascal con le linee $3$ che hanno $2$, la linea media $3$ $5$ e la linea base $4$ $1$ $6$ è perfetta.

**4. ** Lasciate $n\ge 2$. Mostrare che se esiste una piramide perfetta con linee $n$, il numero intero più grande che possiede si trova sulla linea inferiore. Qual è questo numero intero?

5. Costruire una piramide Pascal perfetta con linee $3$ in cui il numero $6$ sia situato in basso e in mezzo.

L’obiettivo di questa domanda è dimostrare che in una piramide Pascal perfetta con linee $n$, e tranne quando $n\le 3$, il numero $n(n+1)/2$ non può essere situato né in basso a destra né in basso a sinistra.

a. giustificare che sia sufficiente a dimostrare che non può essere situato in fondo a destra. Supponiamo, in quanto segue, che il numero $n(n+1)/2$ sia situato in basso a destra.

b. Considera quindi il percorso che parte dalla cima della piramide e scende progressivamente, collegando il numero raggiunto su ciascuna linea al più grande dei due numeri della linea inferiore situata a sinistra e a destra. Nell’esempio di cui sopra la domanda 4 questo percorso sarebbe $2\to 5\to 6$. Mostrare che, nel caso generale, questo percorso può seguire solo il bordo destro della piramide e terminare a $n(n+1)/2$.

c. Concludi considerando il triangolo equilaterale la cui base inferiore è composta dai numeri $n-2$ più a sinistra dell’ultima linea.

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