Olympiades Nationales de Mathématiques (Première) 2025

Atypical n-hour clock where 1+6=2; choose n so that 1+12=2

Exercise 1 - For all candidates

1. An atypical watch. When you look at a watch displaying the time, the small (hour) hand is at position 12 (hours) at a graduation marked 1 (hour); it returns to position 1 (hour), as the sketch opposite shows, so that in some sense $1+12=1$.

Rather than dividing the day into 12 hours, it is decided to divide it arbitrarily into $n\ge 2$ hours.

(a) Choose $n=5$; sketch it opposite. Justify that, following the movement of the small hand, one would have $1+6=2$. Would it identify with $1+12$?

(b) How should $n$ be chosen so that, this time, $1+12=2$? Draw a corresponding clock.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Congruenze Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Attipo di orologio n-ora in cui 1+6=2; scegliere n in modo che 1+12=2

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

1. Un orologio atipo. Quando si guarda un orologio che mostra l’ora, la mano piccola (ora) è in posizione 12 (ore) ad una graduazione segnata 1 (ora); ritorna alla posizione 1 (ora), come mostra lo schizzo opposto, in modo che in un certo senso $1+12=1$.

Invece di dividere la giornata in 12 ore, si decide di dividerla arbitrariamente in $n\ge 2$ ore.

**(a) ** Scegli $n=5$; disegna il punto opposto. Giustificare che, seguendo il movimento della mano piccola, si avrebbe $1+6=2$. Si identifica con $1+12$?

**(b) ** Come si deve scegliere $n$ in modo che, questa volta, $1+12=2$? Disegna un orologio corrispondente.

src_oprem_2025__Q01

Translation: rewrite ambiguous media sentences in plain terms

Exercise 1 - For all candidates

2. Translation. Express in plain terms what the following sentences mean (read figuratively, as people commonly do in the media!):

(a) “It is undeniable that Beethoven would not have been the great composer he was had he not been deaf.”

(b) “The town hall rejects the cancellation request submitted by the association Organisons le premier Championnat de vitesse d’escargots (‘Let us organise the first snail-racing championship’), invoking the municipal decree forbidding such a removal” - replace these two or three sentences with simple, clear phrases that show you have understood.

Topic: Logica Abilita: Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Traduzione: riscrivere le frasi ambigue in media in termini semplici

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

2. Traduzione. Esprimere in termini semplici il significato delle seguenti frasi (leggere figurativamente, come si fa comunemente nei media!):

“È innegabile che Beethoven non sarebbe stato il grande compositore che era se non fosse sordo”.

**(b) ** “Il municipio respinge la richiesta di cancellazione presentata dall’associazione Organisons le premier Championnat de vitesse d’escargots, invocando il decreto municipale che proibisce tale rimozione” - sostituire queste due o tre frasi con frasi semplici e chiare che mostrino che avete capito.

src_oprem_2025__Q02

Conical flute filled to half height: how many such flutes can be filled

Exercise 1 - For all candidates

3. And to do mathematics is not what does us harm. A champagne coupe has a conical shape. Several identical coupes are filled, each up to half of its height $h$. How many coupes can be filled in this way?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Flotta conica riempita a metà altezza: quanti flutti possono essere riempiti

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

3. E fare matematica non è ciò che ci danneggia. Una coppa di champagne ha una forma conica. Sono riempiti diversi cupetti identici, ognuno fino alla metà della sua altezza $h$. Quanti cuponi si possono riempire in questo modo?

src_oprem_2025__Q03

Max tilt angle of a hemispherical glass filled to half its height

Exercise 1 - For all candidates

4. Or rather, a little. A glass is formed by a hemisphere (represented opposite in cross-section by a semicircle for the drawing). The glass is filled up to half of its height $h$. What is the maximum angle of inclination at which one can tilt the glass without spilling the liquid?

Topic: Geometria solida, Trigonometria, Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’angolo massimo di inclinazione di un vetro emisfero riempito alla metà della sua altezza

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

4. O meglio, un po’. Un vetro è formato da un emisfero (representato di fronte in sezione trasversale da un semicircolo per il disegno). Il vetro è riempito fino alla metà della sua altezza $h$. Qual è l’angolo massimo di inclinazione a cui si può inclinare il vetro senza versare il liquido?

src_oprem_2025__Q04

Group dinner with minimum takings and a subsidy: price per person, optimum group size

Exercise 1 - For all candidates

5. But mathematicians have the right to eat. A group of about a hundred people reserves a dinner at a restaurant on the Nice seafront. Under normal conditions, the price of the meal is 40 euros per person. But the manager requires that the takings (i.e. the total of what the group pays) reach at least 4000 euros, in order to cover the risk should some guests withdraw (default).

(a) Justify that if $n\ge 100$ people come, each pays 40 euros; whereas if there are defections, with only $n<100$ people coming, they would each pay more. How much does each pay when only 90 people come?

(b) The group obtains a State subsidy of 1000 euros. How much does each pay when only 90 people come? When 120 people come? And exactly how many people must come so that the price each pays is minimal?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Vene di gruppo con entrate minime e un sussidio: prezzo per persona, dimensione ottimale del gruppo

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

5. Ma i matematici hanno il diritto di mangiare. Un gruppo di circa cento persone si riserva una cena in un ristorante sul lungomare di Nizza. In condizioni normali, il prezzo del pasto è di 40 euro a persona. Ma il gestore richiede che i prelievi (cioè il totale di ciò che il gruppo paga) raggiunge almeno 4000 euro, al fine di coprire il rischio in caso di ritiro di alcuni ospiti (di default).

**(a) ** Giustificare che se $n\ge 100$ persone vengono, ciascuno paga 40 euro; mentre se ci sono defezioni, con solo $n<100$ persone che vengono, ciascuno pagherà di più. Quanto pagherà ciascuno quando verranno solo 90 persone?

**(b) ** Il gruppo riceve un sussidio di Stato di 1000 euro. Quanto pagherà ciascuno quando verranno solo 90 persone? Quando verranno 120 persone? E quante persone devono venire esattamente per far sì che il prezzo pagato sia minimo?

src_oprem_2025__Q05

Cut a quarter-disk into two equal areas along the axis of symmetry: where to cut

Exercise 1 - For all candidates

6. And to take a dessert. Consider a portion of tart represented by an angular sector having the shape of a quarter of a disc (angular opening $\frac{\pi }{2}$). One wishes to divide it into two equal parts. But in an original way: by cutting it not along the angular bisector, but along the axis of symmetry, so that the area of the right piece would equal the area of the left piece. Where should the cut be made? (One will introduce all the variables necessary to solve the problem.)

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tagliare un quarto disco in due aree uguali lungo l’asse di simmetria: dove tagliare

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

6. E per fare un dolce. Si consideri una porzione di tart rappresentata da un settore angolare con forma di un quarto di disco (apertura angolare $\frac{\pi }{2}$). Uno desidera dividerla in due parti uguali. Ma in un modo originale: tagliando non lungo il bisettore angolare, ma lungo l’asse di simmetria, in modo che l’area del pezzo destro fosse uguale all’area del pezzo sinistro. Dove dovrebbe essere fatto il taglio? (Si introdurranno tutte le variabili necessarie per risolvere il problema.)

src_oprem_2025__Q06

de Gua’s theorem: square of oblique-face area equals sum of squares of the three right-angle faces

Exercise 1 - For all candidates

7. 3D Pythagoras (de Gua’s theorem). Show that, in a trirectangular tetrahedron (three right angles at one vertex), that is to say a corner of a rectangular parallelepiped, the square of the area of the oblique face equals the sum of the squares of the areas of the three other faces.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

teorema di Gua: quadrato di superficie obliqua è uguale alla somma dei quadrati delle tre facce rettangolari

Esercizio 1 - Per tutti i candidati

7. 3D Pitagora (teorema di de Gua). Mostrare che, in un tetraedro tri rettangolare (tre angoli rettangolari ad un vertex), cioè un angolo di parallelepiped rectangulare, il quadrato dell’area della faccia obliqua è uguale alla somma dei quadrati delle aree delle altre tre facce.

src_oprem_2025__Q07

Exercise 2 intro and examples: show 6 is balanced (balance 2), 7 is not, 204 has balance 84

Exercise 2 - For candidates of the general stream following the ‘spe maths’ specialty

Recherche d’equilibre : les nombres sur le fil

Recall that for every non-zero natural number $m$: $1+2+3+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$ and, more generally, that for every non-zero natural number $n$ and every non-zero natural number $b$: $(n+1)+(n+2)+(n+3)+\cdots +(n+b)=\frac{b(2n+b+1)}{2}.$

When $n$ is an integer at least equal to 2, we say that $n$ is a balanced number if one can find a non-zero integer $b$ such that: $1+2+3+\cdots +(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots +(n+b).$ In this case, the integer $b$ is unique and is called the balance of $n$.

For example, 35 is a balanced number, since $1+2+3+4+\cdots +34=595$ and $(35+1)+(35+2)+\cdots +(35+14)=595$. The balance of 35 is 14.

1. Some examples

(a) Show that 6 is a balanced number and specify its balance.

(b) Show that 7 is not a balanced number.

(c) Show that 204 is a balanced number of balance 84.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 6 has balance 2; 7 is not balanced; 204 has balance 84 Fonte: apri PDF

Esercizio 2 introduzione e esempi: mostra 6 è bilanciato (equilibrio 2), 7 non è, 204 ha equilibrio 84

Esercizio 2 - Per i candidati del flusso generale che seguono la specialità “spe mathematics”

Ricerca d’equilibrio: i numeri sul file

Ricordiamo che per ogni numero naturale non zero $m$: $1+2+3+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$ e, più in generale, che per ogni numero naturale non zero $n$ e per ogni numero naturale non zero $b$: $(n+1)+(n+2)+(n+3)+\cdots +(n+b)=\frac{b(2n+b+1)}{2}.$

Quando $n$ è un intero almeno uguale a 2, diciamo che $n$ è un numero bilanciato se si può trovare un intero non zero $b$ tale che: $1+2+3+\cdots +(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots +(n+b).$ In questo caso, il intero $b$ è unico ed è chiamato il equilibrio di $n$.

Ad esempio, 35 è un numero equilibrato, poiché $1+2+3+4+\cdots +34=595$ e $(35+1)+(35+2)+\cdots +(35+14)=595$. L’equilibrio di 35 e’ 14.

1. Alcuni esempi

**(a) ** Indicare che 6 è un numero equilibrato e specificare il suo equilibrio.

**(b) ** Mostra che 7 non è un numero equilibrato.

**(c) ** Mostra che 204 è un numero bilanciato di equilibrio 84.

Risposta: 6 has balance 2; 7 is not balanced; 204 has balance 84 src_oprem_2025__Q08

Show n^2-n=2bn+b^2 and b=(-(2n+1)+sqrt(8n^2+1))/2; conclude n balanced iff 8n^2+1 is a perfect square

Exercise 2 - For candidates of the general stream following the ‘spe maths’ specialty

2. Link between balanced numbers and perfect squares. Recall that a natural number $c$ is a perfect square if there exists an integer $e$ such that $c=e^2$. Thus $16=4^2$ and $36=6^2$, whereas 17 and 18 are not perfect squares. Let $n$ be an integer at least equal to 2.

(a) Suppose in this question that $n$ is a balanced number; let $b$ be its balance. Show that $n^2-n=2bn+b^2$, then deduce that $b=\frac{-(2n+1)+\sqrt{8n^2+1}}{2}$. Deduce from this that $8n^2+1$ is a perfect square.

(b) Suppose in this question that $8n^2+1$ is a perfect square; let $e$ be the integer $\sqrt{8n^2+1}$. Show that $e$ is odd, then that the real $b$ defined by $b=\frac{-(2n+1)+e}{2}$ is a strictly positive integer.

(c) Conclude that $n$ is a balanced number if and only if $8n^2+1$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $nisbalancediff8n^2+1isaperfectsquare$ Fonte: apri PDF

Mostra n^2-n=2bn+b^2 e b=(-(2n+1)+sqrt(8n^2+1))/2; concludere n equilibrato se 8n^2+1 è un quadrato perfetto

Esercizio 2 - Per i candidati del flusso generale che seguono la specialità “spe mathematics”

2. Relazione tra numeri bilanciati e quadrati perfetti. Ricordiamo che un numero naturale $c$ è un quadrato perfetto se esiste un intero $e$ tale che $c=e^2$. Quindi $16=4^2$ e $36=6^2$, mentre 17 e 18 non sono quadrati perfetti. $n$ sia un numero intero almeno uguale a 2.

**(a) ** Supponiamo in questa domanda che $n$ sia un numero bilanciato; $b$ sia il suo equilibrio. Indicare che $n^2-n=2bn+b^2$, quindi dedurre che $b=\frac{-(2n+1)+\sqrt{8n^2+1}}{2}$. Da questo deduciamo che $8n^2+1$ è un quadrato perfetto.

**(b) ** Supponiamo in questa domanda che $8n^2+1$ sia un quadrato perfetto; $e$ sia il numero intero $\sqrt{8n^2+1}$. Mostrare che $e$ è odd, quindi che il reale $b$ definito da $b=\frac{-(2n+1)+e}{2}$ è un intero rigorosamente positivo.

**(c) ** Concludi che $n$ è un numero equilibrato se e solo se $8n^2+1$ è un quadrato perfetto.

Risposta: n is balanced iff 8n^2+1 is a perfect square src_oprem_2025__Q09

Generating function f(x)=3x+sqrt(8x^2+1); auxiliary g,h; sequence u_1=6, u_{k+1}=f(u_k) of balanced numbers

Exercise 2 - For candidates of the general stream following the ‘spe maths’ specialty

3. A generating function. Consider the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f(x)=3x+\sqrt{8x^2+1}.$

(a) Verify that for every real $x$, $8(f(x){)}^2+1=(8x+3\sqrt{8x^2+1}{)}^2$.

(b) Deduce from it that if $n$ is a balanced number, then $f(n)$ is also.

Set $u_1=6$ and, for every integer $k\ge 1$, $u_{k+1}=f(u_k)$.

(c) Show that $(u_k{)}_{k\ge 1}$ is a strictly increasing sequence of balanced numbers.

(d) Show that for every integer $k\ge 2$, $u_{k-1}=3u_k-\sqrt{8u_k^2+1}$.

Consider the functions $g$ and $h$ defined on $]0,+\infty [$ by $g(x)=3x-\sqrt{8x^2+1}\text{and}h(x)=3\sqrt{x}-\sqrt{8x+1}.$

(e) Show that the function $h$ is strictly increasing on $]0,+\infty [$ and deduce that $g$ is also. [Then, reasoning by contradiction by assuming there exists a balanced number $n$ greater than $u_k$ for some integer $k\ge 1$ that is not a perfect square in this sense, show the required property.]

(f) Compute $u_2$. Admitting that the only balanced numbers strictly less than 36 are 6 and 35, deduce that if $n>u_2$ then there exists an integer $m\ge 2$ such that $u_m<n<u_{m+1}$. Conclude.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra, Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Ricorsione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $u_2=35$ Fonte: apri PDF

Funzione di generazione f(x)=3x+sqrt(8x^2+1); g,h ausiliario; sequenza u_1=6, u_{k+1}=f(u_k) di numeri bilanciati

Esercizio 2 - Per i candidati del flusso generale che seguono la specialità “spe mathematics”

3. Una funzione generatrice. Considera la funzione $f$ definita su $\mathbb{R}$ da $f(x)=3x+\sqrt{8x^2+1}.$

**(a) ** Verificare che per ogni reale $x$, $8(f(x){)}^2+1=(8x+3\sqrt{8x^2+1}{)}^2$.

**(b) ** Da questo deduciamo che se $n$ è un numero equilibrato, allora $f(n)$ lo è anche.

Set $u_1=6$ e, per ogni numero intero $k\ge 1$, $u_{k+1}=f(u_k)$.

**(c) ** Mostra che $(u_k{)}_{k\ge 1}$ è una sequenza di numeri bilanciati in stretta crescita.

**(d) ** Indicare che per ogni numero intero $k\ge 2$, $u_{k-1}=3u_k-\sqrt{8u_k^2+1}$.

Considerare le funzioni $g$ e $h$ definite su $]0,+\infty [$ da $g(x)=3x-\sqrt{8x^2+1}\text{and}h(x)=3\sqrt{x}-\sqrt{8x+1}.$

**(e) ** Mostra che la funzione $h$ è rigorosamente in aumento su $]0,+\infty [$ e deduci che $g$ lo è anche. [Poi, ragionando per contraddizione presumendo che esista un numero equilibrato $n$ maggiore di $u_k$ per un numero intero $k\ge 1$ che non è un quadrato perfetto in questo senso, mostrare la proprietà richiesta.]

**(f) ** Calcolare $u_2$. Se si ammette che gli unici numeri bilanciati strettamente inferiori a 36 sono 6 e 35, si deduce che se $n>u_2$ allora esiste un intero $m\ge 2$ tale che $u_m<n<u_{m+1}$. Conclusione.

Risposta: u_2=35 src_oprem_2025__Q10

Python: u_{k+1}=6u_k-u_{k-1}; explain mystere(n) (computes 1+…+(n-1)); write equilibre(n) returning True/False

Exercise 2 - For candidates of the general stream following the ‘spe maths’ specialty

4. Testing in Python language whether a number is balanced or not.

(a) Establish that for every integer $k\ge 2$, $u_{k+1}=6u_k-u_{k-1}$.

(b) Consider the following function mystere(n), which takes as argument an integer $n$ at least equal to 2:

def mystere(n):
    s=1
    i=2
    while i<n:
        s=s+i
        i=i+1
    return s

Explain what the function mystere(n) computes.

(c) Write a function equilibre(n) taking as argument an integer $n$ at least equal to 2 and returning True if $n$ is a balanced number and False otherwise (one may use the approach of question 4a or of question 4b, explaining nevertheless which method is reasonably usable on the computer).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Python: u_{k+1}=6u_k-u_{k-1}; spiegare il mistero(n) (computatori 1+…+(n-1)); scrivere l’equilibrio(n) restituendo True/False

Esercizio 2 - Per i candidati del flusso generale che seguono la specialità “spe mathematics”

4. Testare in Python se un numero è equilibrato o meno.

**(a) ** Stabilire che per ogni numero intero $k\ge 2$, $u_{k+1}=6u_k-u_{k-1}$.

**(b) ** Si consideri la seguente funzione mystere(n) , che prende come argomento un numero intero $n$ almeno uguale a 2: python def mystere(n): s=1 i=2 mentre i<n: s=s+i i=i+1 restituisce s Spiega cosa calcola la funzione mystere(n) .

**(c) ** Scrivere una funzione equilibrio(n) prendendo come argomento un intero $n$ almeno uguale a 2 e restituendo True se $n$ è un numero equilibrato e False altrimenti (si può usare l’approccio della domanda 4a o della domanda 4b, spiegando tuttavia quale metodo è ragionevolmente utilizzabile sul computer).

src_oprem_2025__Q11

Python: write liste_equilibres(n) returning the list of balanced numbers <= n

Exercise 2 - For candidates of the general stream following the ‘spe maths’ specialty

5. Generating the balanced numbers in Python language. Write a function liste_equilibres(n) taking as argument an integer $n$ at least equal to 2 and returning the list of balanced numbers less than or equal to $n$. Recall that [] is the empty list and that, given a list L and an integer i, the command L.append(i) adds the element i to the list L placing it at the end.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Python: scrivere liste_equilibres(n) restituire l’elenco dei numeri bilanciati <= n

Esercizio 2 - Per i candidati del flusso generale che seguono la specialità “spe mathematics”

5. Generare i numeri bilanciati nel linguaggio Python. Scrivere una funzione liste_equilibres(n) prendendo come argomento un intero $n$ almeno uguale a 2 e restituendo l’elenco dei numeri bilanciati inferiori o uguali a $n$. Ricorda che [] è la lista vuota e che, data una lista L e un numero intero i, il comando L.append(i) aggiunge l’elemento i alla lista L inserendolo alla fine.

src_oprem_2025__Q12

Exercise 3 intro: prove 1+…+m=m(m+1)/2 by reversal, derive shifted-sum formula, and the examples 6, 7, 204

Exercise 3 - For candidates of the general stream NOT following the ‘spe maths’ specialty, and ALL technological-stream candidates

Recherche d’equilibre : les nombres sur le fil

1. A formula useful for the following. By adding the sum $S=1+2+3$ to itself, but taken in reverse order, namely $S=3+2+1$, and posing the operation as follows, $\begin{array}{r}1+2+3\\ +3+2+1\\ 4+4+4\end{array}$ one computes $S+S=3\times 4$ and hence $S=6$.

More generally, prove in this manner that for every non-zero natural number $m$: $1+2+3+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}.$

2. Deduce that for every non-zero natural number $n$ and every non-zero natural number $b$: $(n+1)+(n+2)+(n+3)+\cdots +(n+b)=\frac{b(2n+b+1)}{2}.$

When $n$ is an integer at least equal to 2, we say that $n$ is a balanced number if one can find a non-zero integer $b$ such that: $1+2+3+\cdots +(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots +(n+b).$ In this case, the integer $b$ is unique and is called the balance of $n$.

For example, 35 is a balanced number, since $1+2+3+4+\cdots +34=595$ and $(35+1)+(35+2)+\cdots +(35+14)=595$. The balance of 35 is 14.

3. Some examples

(a) Show that 6 is a balanced number and specify its balance.

(b) Show that 7 is not a balanced number.

(c) Show that 204 is a balanced number of balance 84.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 6 has balance 2; 7 is not balanced; 204 has balance 84 Fonte: apri PDF

Esercizio 3 intro: dimostrare 1+…+m=m(m+1)/2 per inversione, derivare la formula della somma spostata, e gli esempi 6, 7, 204

Esercizio 3 - Per i candidati del flusso generale NON che seguono la specialità “spe mathematics”, e TUTTI i candidati del flusso tecnologico

Ricerca d’equilibrio: i numeri sul file

1. Una formula utile per i seguenti. Aggiungendo la somma $S=1+2+3$ a se stessa, ma presa in ordine inverso, vale a dire $S=3+2+1$, e presentando l’operazione come segue, $\begin{array}{r}1+2+3\\ +3+2+1\\ 4+4+4\end{array}$ si calcola $S+S=3\times 4$ e quindi $S=6$.

Più in generale, dimostrare in questo modo che per ogni numero naturale non zero $m$: $1+2+3+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}.$

2. Deduci che per ogni numero naturale non zero $n$ e per ogni numero naturale non zero $b$: $(n+1)+(n+2)+(n+3)+\cdots +(n+b)=\frac{b(2n+b+1)}{2}.$

Quando $n$ è un intero almeno uguale a 2, diciamo che $n$ è un numero bilanciato se si può trovare un intero non zero $b$ tale che: $1+2+3+\cdots +(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots +(n+b).$ In questo caso, l’intero $b$ è unico ed è chiamato il equilibrio di $n$.

Ad esempio, 35 è un numero equilibrato, poiché $1+2+3+4+\cdots +34=595$ e $(35+1)+(35+2)+\cdots +(35+14)=595$. L’equilibrio di 35 e’ 14.

3. Alcuni esempi

**(a) ** Indicare che 6 è un numero equilibrato e specificare il suo equilibrio.

**(b) ** Mostra che 7 non è un numero equilibrato.

**(c) ** Mostra che 204 è un numero bilanciato di equilibrio 84.

Risposta: 6 has balance 2; 7 is not balanced; 204 has balance 84 src_oprem_2025__Q13

Show n^2-n=2bn+b^2 and 8n^2+1=(2n+2b+1)^2; e=sqrt(8n^2+1) odd; conclude n balanced iff 8n^2+1 a perfect square

Exercise 3 - For candidates of the general stream NOT following the ‘spe maths’ specialty, and ALL technological-stream candidates

4. Link between balanced numbers and perfect squares. Recall that a natural number $c$ is a perfect square if there exists an integer $e$ such that $c=e^2$. Thus $16=4^2$ and $36=6^2$, whereas 17 and 18 are not perfect squares. Let $n$ be an integer at least equal to 2.

(a) Suppose in this question that $n$ is a balanced number; let $b$ be its balance. Show that $n^2-n=2bn+b^2$, then that $8n^2+1=(2n+2b+1{)}^2$.

(b) Suppose in this question that $8n^2+1$ is a perfect square; let $e$ be the integer $\sqrt{8n^2+1}$. Show that $e$ is odd, then that the real $b$ defined by $b=\frac{-(2n+1)+e}{2}$ is a strictly positive integer.

(c) Conclude that $n$ is a balanced number if and only if $8n^2+1$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $nisbalancediff8n^2+1isaperfectsquare$ Fonte: apri PDF

Mostra n^2-n=2bn+b^2 e 8n^2+1=(2n+2b+1)^2; e=sqrt(8n^2+1) impar; concludere n equilibrato se 8n^2+1 un quadrato perfetto

Esercizio 3 - Per i candidati del flusso generale NON che seguono la specialità “spe mathematics”, e TUTTI i candidati del flusso tecnologico

4. Relazione tra numeri bilanciati e quadrati perfetti. Ricordiamo che un numero naturale $c$ è un quadrato perfetto se esiste un intero $e$ tale che $c=e^2$. Quindi $16=4^2$ e $36=6^2$, mentre 17 e 18 non sono quadrati perfetti. $n$ sia un numero intero almeno uguale a 2.

**(a) ** Supponiamo in questa domanda che $n$ sia un numero bilanciato; $b$ sia il suo equilibrio. Indicare che $n^2-n=2bn+b^2$, poi che $8n^2+1=(2n+2b+1{)}^2$.

**(b) ** Supponiamo in questa domanda che $8n^2+1$ sia un quadrato perfetto; $e$ sia il numero intero $\sqrt{8n^2+1}$. Mostrare che $e$ è odd, quindi che il reale $b$ definito da $b=\frac{-(2n+1)+e}{2}$ è un intero rigorosamente positivo.

**(c) ** Concludi che $n$ è un numero equilibrato se e solo se $8n^2+1$ è un quadrato perfetto.

Risposta: n is balanced iff 8n^2+1 is a perfect square src_oprem_2025__Q14

Generating function f(x)=3x+sqrt(8x^2+1); verify identity; f(n) balanced if n is; sequence u_1=6 strictly increasing

Exercise 3 - For candidates of the general stream NOT following the ‘spe maths’ specialty, and ALL technological-stream candidates

5. A generating function. Consider the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f(x)=3x+\sqrt{8x^2+1}.$

(a) Verify that for every real $x$, $8(f(x){)}^2+1=(8x+3\sqrt{8x^2+1}{)}^2$.

(b) Deduce that if $n$ is a balanced number, then $f(n)$ is also.

Set $u_1=6$ and, for every integer $k\ge 1$, $u_{k+1}=f(u_k)$.

(c) Show that $(u_k{)}_{k\ge 1}$ is a strictly increasing sequence of balanced numbers.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Funzione di generazione f(x) = 3x+sqrt(8x^2+1); verifica l’identità; f(n) bilanciato se n è; sequenza u_1=6 stringentemente in aumento

Esercizio 3 - Per i candidati del flusso generale NON che seguono la specialità “spe mathematics”, e TUTTI i candidati del flusso tecnologico

5. Una funzione generatrice. Considera la funzione $f$ definita su $\mathbb{R}$ da $f(x)=3x+\sqrt{8x^2+1}.$

**(a) ** Verificare che per ogni reale $x$, $8(f(x){)}^2+1=(8x+3\sqrt{8x^2+1}{)}^2$.

**(b) ** Deduci che se $n$ è un numero equilibrato, allora $f(n)$ è anche.

Set $u_1=6$ e, per ogni numero intero $k\ge 1$, $u_{k+1}=f(u_k)$.

**(c) ** Mostra che $(u_k{)}_{k\ge 1}$ è una sequenza di numeri bilanciati in stretta crescita.

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Python: write liste_equilibres(n) returning the list of balanced numbers <= n, using sqrt()

Exercise 3 - For candidates of the general stream NOT following the ‘spe maths’ specialty, and ALL technological-stream candidates

6. Generating the balanced numbers in Python language. Write a function liste_equilibres(n) taking as argument an integer $n$ at least equal to 2 and returning the list of balanced numbers less than or equal to $n$. Recall that [] is the empty list and that, given a list L and an integer i, the command L.append(i) adds the element i to the list L placing it at the end. One will use the instruction sqrt() to code the square-root function.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Python: scrivere liste_equilibres(n) restituire l’elenco dei numeri bilanciati <= n, utilizzando sqrt()

Esercizio 3 - Per i candidati del flusso generale NON che seguono la specialità “spe mathematics”, e TUTTI i candidati del flusso tecnologico

6. Generare i numeri bilanciati nel linguaggio Python. Scrivere una funzione liste_equilibres(n) prendendo come argomento un intero $n$ almeno uguale a 2 e restituendo l’elenco dei numeri bilanciati inferiori o uguali a $n$. Ricorda che [] è la lista vuota e che, data una lista L e un numero intero i, il comando L.append(i) aggiunge l’elemento i alla lista L inserendolo alla fine. Si utilizzerà l’istruzione sqrt() per codificare la funzione di radice quadrata.

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