Olympiades Nationales de Mathématiques (Première) 2026

Exercise 1, Q1: love-graph logic on who loves whom

Exercise 1 (all candidates) - The games of love. If Alice does not love Jordan, then Brenda loves Jordan. If Brenda loves Jordan, then Brenda loves Dan. If Alice loves Jordan, then Brenda does not love Dan. Brenda loves Jordan, so Brenda loves Dan. Does Dan love Alice?

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Esercizio 1, Q1: logica grafica d’amore su chi ama chi

Esercizio 1 (tutti i candidati) - I giochi d’amore. Se Alice non ama Jordan, allora Brenda ama Jordan. Se Brenda ama Jordan, allora Brenda ama Dan. Se Alice ama Jordan, allora Brenda non ama Dan. Brenda ama Jordan, così Brenda ama Dan. Dan ama Alice?

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Exercise 1, Q2: age trick, person can make himself younger

Exercise 1 (all candidates) - Back to the future. Your uncle is $54$ years old. By a trick he made himself $9$ years younger. More generally, consider a person aged $ab$ years, with $a\ge 5$ and $b=6$. (a) By how many years, at most, can this mischievous person make himself younger by the described procedure? (b) Can this person make himself younger by exactly $30$ years?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 1, Q2: trucco dell’età, la persona può diventare più giovane

Esercizio 1 (tutti i candidati) - Ritorno al futuro. Tuo zio ha $54$ anni. Con un trucco si fece $9$ anni più giovane. Più in generale, si consideri una persona di età $ab$ anni, con $a\ge 5$ e $b=6$. (a) Con quante anni, al massimo, questa persona malvagia può rendersi più giovane con la procedura descritta? b) Può questa persona diventare più giovane di esattamente $30$ anni?

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Exercise 1, Q3: voting with four fractions, who wins, number of voters

Exercise 1 (all candidates) - Administrative intelligence. $4$ persons stand for the election of a council. All the votes are valid and expressed. The results obtained are: Johanna obtains $\frac{1}{4}$ of the votes, Jason obtains $\frac{1}{15}$ of the votes, Jasmine obtains $\frac{3}{20}$ of the votes, and Julie obtains $\frac{1}{3}$ of the votes. Who wins and by how much can one win? How many voters can there be?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 1, Q3: voto con quattro frazioni, chi vince, numero di elettori*

Esercizio 1 (tutti i candidati) - Informazioni amministrative. Le elezioni di un consiglio sono condotte da persone $4$. Tutti i voti sono validi ed espressi. I risultati ottenuti sono: Johanna ottiene $\frac{1}{4}$ dei voti, Jason $\frac{1}{15}$ dei voti, Jasmine $\frac{3}{20}$ dei voti e Julie $\frac{1}{3}$ dei voti. Chi vince e per quanto si può vincere? Quanti elettori ci possono essere?

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Exercise 1, Q4: volume of frustum bucket, water-level radius and half-fill level

Exercise 1 (all candidates) - Half is not stupid. A bucket has the shape of a truncated cone of small radius $r$, large radius $R>r$ and total height $h$. (a) Justify that the total volume is $\mathcal{V}=\frac{\pi h}{3}(r^2+Rr+R^2)$. (b) One fills the bucket up to height $x$; let $\rho$ be the real number belonging to the interval $[0,h]$ such that the surface of the water at this height $x$ is a disc of radius $\rho$. Determine $\rho$ in terms of $x$, $r$, $R$ and $h$. (c) Suppose that $r=1$, $R=1.2$ and $h=2$. Using your calculator, give an approximate value of $x$ so that the bucket is filled to half of its capacity. Why can one not limit the search around the value $x=1$?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 1, Q4: volume del secchio di frustum, raggio del livello dell’acqua e livello di mezzo riempimento

Esercizio 1 (tutti i candidati) - La metà non è stupida. Un secchio ha la forma di un cono troncato di piccolo raggio $r$, grande raggio $R>r$ e altezza totale $h$. a) giustificare che il volume totale sia $\mathcal{V}=\frac{\pi h}{3}(r^2+Rr+R^2)$. b) Si riempie il secchio fino ad un’altezza $x$; $\rho$ sia il numero reale appartenente all’intervallo $[0,h]$ in modo tale che la superficie dell’acqua a questa altezza $x$ sia un disco di raggio $\rho$. Determinare $\rho$ in termini di $x$, $r$, $R$ e $h$. c) Supponiamo che $r=1$, $R=1.2$ e $h=2$. Utilizzando la calcolatrice, indicare un valore approssimativo di $x$ in modo che il secchio sia riempito a metà della sua capacità. Perché non si può limitare la ricerca intorno al valore $x=1$?

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Exercise 1, Q5: triominoes tiling 2^n x 2^n grids, with cells removed

Exercise 1 (all candidates) - Triominoes. The following polygons, formed of three squares, are called triominoes. We are interested in tilings by triominoes of grids (or, in (b) and (c), of pieces of grids) of format $a\times b$, where $a$ denotes their number of lines and $b$ their number of columns. The figure opposite shows an example of a tiling of a grid in which one sets $a=2$ and $b=6$. Let $n$ be a non-zero natural integer. (a) Is it possible to tile a grid of format $2^n\times 2^n$? (b) One removes the top-left square of such a grid; is it then possible to tile this so modified grid (one starts from the grid of size $n=1$ then $n=2$ in order to generalize)? (c) Show that the preceding result remains true when one removes whichever of the cells of the complete grid $2^n\times 2^n$ at the start.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione, Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 1, Q5: triomini a piastrella 2^n x 2^n griglie, con cellule rimosse

Esercizio 1 (tutti i candidati) - Triomini. I seguenti poligoni, costituiti da tre quadrati, sono chiamati triomini. Ci interessano i tessuti per triomino di griglie (o, nelle lettere b) e c), di pezzi di griglie) di formato $a\times b$, dove $a$ indica il loro numero di linee e $b$ il loro numero di colonne. La figura opposta mostra un esempio di tessitura di una griglia in cui si impone $a=2$ e $b=6$. Che $n$ sia un intero naturale non zero. (a) È possibile costruire una griglia di formato $2^n\times 2^n$? (b) Si rimuove il quadrato superiore sinistro di tale griglia; è quindi possibile tessere questa griglia così modificata (si parte dalla griglia di dimensioni $n=1$ e poi $n=2$ per generalizzare)? c) Indicare che il risultato precedente rimane vero quando si rimuove qualunque delle celle della griglia completa $2^n\times 2^n$ all’inizio.

src_oprem_2026__Q05

Exercise 1, Q6: harmonic sums H_n, binary weight, H_n never integer for n>=2

Exercise 1 (all candidates) - Harmonic sums. For $n$ a natural integer, $n\ge 1$, one computes the sum (called harmonic) $H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$. Thus $H_1=1$, $H_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$. (a) Justify that $H_4=\frac{25}{12}$. (b) Propose a code in the Python language allowing to obtain $H_n$ for whichever natural integer $n\ge 1$. (c) One calls binary weight the largest power of two appearing among the terms to be summed. Thus the binary weight of $H_2$ is $\frac{1}{2}$, that of $H_3$ also; the binary weight of $H_8$ is $\frac{1}{8}$, that of $H_9,H_{10},\dots ,H_{15}$ also, etc. What is the binary weight of $H_3$? Of $H_8$? Of $H_{20}$? (d) One remarks, after some attempts, that the values of $H_n$ seem never to be integers as soon as $n\ge 2$. Demonstrate it with the help, notably, of the binary weight of $H_n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $H_4=25/12$ Fonte: apri PDF

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Esercizio 1, Q6: somma armonica H_n, peso binario, H_n mai numero intero per n>=2

Esercizio 1 (tutti i candidati) - Somme armoniche. Per $n$ un intero naturale, $n\ge 1$, si calcola la somma (chiamata armonica) $H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$. Quindi $H_1=1$, $H_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$. (a) giustificare tale $H_4=\frac{25}{12}$. b) Proporre un codice in Python che permetta di ottenere $H_n$ per qualsiasi numero intero naturale $n\ge 1$. (c) Si chiama peso binario la potenza più grande di due apparsi tra i termini da sommare. Quindi il peso binario di $H_2$ è $\frac{1}{2}$, quello di $H_3$ anche; il peso binario di $H_8$ è $\frac{1}{8}$, quello di $H_9,H_{10},\dots ,H_{15}$ anche, ecc. Qual è il peso binario di $H_3$? Of $H_8$? Of $H_{20}$? (d) Si osserva, dopo alcuni tentativi, che i valori di $H_n$ non sembrano mai essere numeri interi non appena $n\ge 2$. dimostrarlo con l’aiuto, in particolare, del peso binario di $H_n$.

Risposta: H_4 = 25/12 src_oprem_2026__Q06

Exercise 2, Q1: prime-counting pi(n), initial values

Exercise 2 (general track following the maths specialty) - Super primes. We recall that a prime number is a non-zero natural integer having exactly two distinct positive divisors: $1$ and itself. Thus $1$ is not prime since it has only $1$ divisor. We recall also that there exist infinitely many prime numbers, which one can enumerate; the smallest prime numbers are $2$, denoted $p_1$; then $3$, denoted $p_2$, and so on. One thus denotes $p_n$ the $n$-th prime number. One gives, by way of illustration, the ordered list of the first fifteen prime numbers: $p_1=2$; $p_2=3$; $p_3=5$; $p_4=7$; $p_5=11$; $p_6=13$; $p_7=17$; $p_8=19$; $p_9=23$; $p_{10}=29$; $p_{11}=31$; $p_{12}=37$; $p_{13}=41$; $p_{14}=43$; $p_{15}=47$. For every natural integer $n$, one denotes $\pi (n)$ the number of prime numbers less than or equal to $n$. One notes that this notation, $\pi (n)$ or ${\pi }_n$, is usual and clear in context, but has nothing to do with the $\pi$ of plane geometry. Study of the sequence $({\pi }_n{)}_{n\ge 0}$. (1) Justify that ${\pi }_0=0$ and ${\pi }_3=3$. Compute ${\pi }_1$, ${\pi }_2$, ${\pi }_6$, ${\pi }_{47}$ and ${\pi }_{49}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $p{i}_0=0,p{i}_3=3$ Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q1: primo conteggio pi(n), valori iniziali

Esercizio 2 (traccia generale seguendo la specialità matematica) - Super prime. Ricordiamo che un numero primo è un intero naturale non zero che ha esattamente due divisioni positive distinte: $1$ e se stesso. Quindi $1$ non è primo poiché ha solo $1$ divisore. Ricordiamo anche che esistono infiniti numeri primi, che si possono enumerare; i numeri primi più piccoli sono $2$, indicato $p_1$; poi $3$, indicato $p_2$, e così via. Uno indica quindi $p_n$ il $n$-th numero primo. Uno dà, per esempio, l’elenco ordinato dei primi quindici numeri primi: $p_1=2$; $p_2=3$; $p_3=5$; $p_4=7$; $p_5=11$; $p_6=13$; $p_8=19$; $p_9=23$; $p_{10}=29$; $p_{11}=31$; $p_{12}=37$; $p_{13}=41$; $p_{14}=43$; $p_{15}=47$. Per ogni intero naturale $n$, si indica $\pi (n)$ il numero di numeri primi inferiori o uguali a $n$. Si osserva che questa notazione, $\pi (n)$ o ${\pi }_n$, è normale e chiara nel contesto, ma non ha nulla a che fare con la $\pi$ della geometria a piatto. Studio della sequenza $({\pi }_n{)}_{n\ge 0}$. (1) giustificare che ${\pi }_0=0$ e ${\pi }_3=3$. Calcolare ${\pi }_1$, ${\pi }_2$, ${\pi }_6$, ${\pi }_{47}$ e ${\pi }_{49}$.

Risposta: pi_0=0, pi_3=3 src_oprem_2026__Q07

Exercise 2, Q2: pi_n is increasing

Exercise 2 - (2) Demonstrate that the sequence $({\pi }_n{)}_{n\ge 0}$ is increasing, that is to say, for every natural integer $n$, ${\pi }_n\le {\pi }_{n+1}$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q2: pi_n è in aumento

Esercizio 2 - (2) Dimostra che la sequenza $({\pi }_n{)}_{n\ge 0}$ aumenta, cioè per ogni intero naturale $n$, ${\pi }_n\le {\pi }_{n+1}$.

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Exercise 2, Q3: pi(p)=pi(q) iff no prime strictly between p and q

Exercise 2 - (3) Demonstrate that if $p$ and $q$ denote two distinct natural integers such that $p<q$, then ${\pi }_p={\pi }_q$ if and only if there is no prime number $r$ such that $p<r\le q$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q3: pi(p) = pi(q) se non esiste un primo rigorosamente tra p e q

Esercizio 2 - (3) Dimostra che se $p$ e $q$ indicano due integri naturali distinti come $p<q$, allora ${\pi }_p={\pi }_q$ se e solo se non esiste un numero primo $r$ come $p<r\le q$.

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Exercise 2, Q4: prove pi_n <= n and find equality cases

Exercise 2 - (4) Demonstrate that for every natural integer $n$, ${\pi }_n\le n$. For which integer(s) $n$ does one have ${\pi }_n=n$?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q4: dimostrare pi_n <= n e trovare casi di uguaglianza

Esercizio 2 - (4) Dimostra che per ogni intero naturale $n$, ${\pi }_n\le n$. Per quale numero intero ((s) $n$ si dispone di ${\pi }_n=n$?

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Exercise 2, Q5: sequence of iterates m, pi(m), pi(pi(m)),… for m=5 and m=11

Exercise 2 - Sequence of iterates of $m$ by $n$. For $m$ a natural integer, one calls sequence of iterates of $m$ by $n$ the sequence of numbers formed by $m$; the number of prime numbers less than or equal to $m$; then the number of prime numbers less than or equal to that; etc. Thus the sequence of iterates of $m$ by $n$ is written $(m;\pi (m);\pi (\pi (m));\pi (\pi (\pi (m)));\dots )$. (5) Compute the first $7$ terms of the sequence of iterates of $m$ in the particular case where $m=5$ as well as in the case where $m=11$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q5: sequenza di iterazioni m, pi(m), pi(pi(m)),… per m=5 e m=11

Esercizio 2 - Sequenza di iterazioni di $m$ da $n$. Per $m$ un intero naturale, si chiama la sequenza di iterazioni di $m$ da $n$ la sequenza di numeri formata da $m$; il numero di numeri primi inferiori o uguali a $m$; quindi il numero di numeri primi inferiori o uguali a quello; ecc. Così la sequenza di iterazioni di $m$ da $n$ viene scritta $(m;\pi (m);\pi (\pi (m));\pi (\pi (\pi (m)));\dots )$. (5) Calcolare i primi termini $7$ della sequenza di iterazioni di $m$ nel caso particolare in cui $m=5$ e nel caso in cui $m=11$.

src_oprem_2026__Q11

Exercise 2, Q6: iterate sequence is decreasing and eventually constant

Exercise 2 - (6) Demonstrate that, in a general manner, the sequence of iterates of an integer $m$ is always decreasing, and becomes constant starting from a certain rank.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q6: la sequenza iterata sta diminuendo e alla fine è costante

Esercizio 2 - (6) Dimostra che, in modo generale, la sequenza di iterazioni di un numero intero $m$ diminuisce sempre e diventa costante partendo da un certo grado.

src_oprem_2026__Q12

Exercise 2, Q7: which of 2,3,5,7,11 are super primes

Exercise 2 - Super prime integers. A natural integer $m$ such that $m\ge 2$ is said to be super prime if, in the sequence of iterates of $m$ by $n$, all its terms are prime numbers. In particular, a super prime integer is itself prime. (7) Among the numbers $2$, $3$, $5$, $7$ and $11$, which are super prime?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q7: di cui 2,3,5,7,11 sono superprimi

Esercizio 2 - Super numeri interi primi. Un intero naturale $m$ tale che $m\ge 2$ si dice super primo se, nella sequenza di iterazioni di $m$ da $n$, tutti i suoi termini sono numeri primi. In particolare, un numero intero super primo è stesso primo. (7) Tra i numeri $2$, $3$, $5$, $7$ e $11$, quali sono super prime?

src_oprem_2026__Q13

Exercise 2, Q8: super primes form increasing sequence, prove pi(s_n)=s_n

Exercise 2 - (8) One supposes that there exist infinitely many non-zero super prime natural integers. Suppose one constructs the smallest super prime integers $s_1<\cdots <s_n$. Show that the smallest super prime $s_n$ verifies $\pi (s_n)=s_n$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q8: i superprimi formano una sequenza crescente, dimostrano pi(s_n) = s_n

Esercizio 2 - (8) Si suppone che esistano infinitamente molti integri naturali superprimi non zero. Supponiamo che si costruiscano i più piccoli integri superprimi $s_1<\cdots <s_n$. Indicare che il super primo più piccolo $s_n$ verifica $\pi (s_n)=s_n$.

src_oprem_2026__Q14

Exercise 2, Q9: give the fifth smallest super prime

Exercise 2 - (9) Give the fifth smallest super prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q9: dare il quinto più piccolo super primo

Esercizio 2 - (9) Date il quinto super primo più piccolo.

src_oprem_2026__Q15

Exercise 2, Q10: inequality on product of primes between sqrt(N) and N

Exercise 2 - Asymptotic behaviour of the sequence of super primes. Of course, the ordered sequence $(s_n)$ of super prime numbers tends to $+\infty$, but one wishes to show that it tends very fast to infinity, in the sense that the quotient $\left(\frac{s_{n+1}}{s_n}\right)$ tends itself to $+\infty$. More explicitly, we fix a non-zero natural integer $M$, and we will show that there exists a rank $n_0$ such that, for every $n\ge n_0$, one has $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ge M$. To do this, we admit the following result, which it is therefore useless to demonstrate: For every non-zero natural integer $N$, one has $Q_N\le 4^N$, where $Q_N$ is the product of the prime numbers comprised (in the broad sense) between $1$ and $N$. (10) Show that for every integer $N\ge 4^{2(M+1)}$, one has $4^{(M+1)\left(\pi (N)-\pi (\sqrt{N})\right)}\le 4^N$. One may consider the product of the prime numbers comprised between $\sqrt{N}$ (not included) and $N$.

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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*Esercizio 2, Q10: disuguaglianza sul prodotto dei numeri primi tra n) e n

Esercizio 2 - Comportamento asimptotico della sequenza di superprime. Naturalmente, la sequenza ordinata $(s_n)$ dei numeri primi super tende a $+\infty$, ma si desidera dimostrare che tende molto velocemente all’infinito, nel senso che il quotiente $\left(\frac{s_{n+1}}{s_n}\right)$ tende a $+\infty$. Più esplicitamente, fisseremo un intero naturale non zero $M$, e mostreremo che esiste un grado $n_0$ tale che, per ogni $n\ge n_0$, uno ha $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ge M$. Per fare questo, ammettiamo il seguente risultato, che è quindi inutile dimostrare: per ogni intero naturale non zero $N$, si ha $Q_N\le 4^N$, dove $Q_N$ è il prodotto dei numeri primi compresi (nel senso ampio) tra $1$ e $N$. (10) Indicare che per ogni numero intero $N\ge 4^{2(M+1)}$, uno ha $4^{(M+1)\left(\pi (N)-\pi (\sqrt{N})\right)}\le 4^N$. Si può considerare il prodotto dei numeri primi compresi tra $\sqrt{N}$ (non incluso) e $N$.

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Exercise 2, Q11: deduce upper bound pi(N) <= N/(M+1) + sqrt(N)

Exercise 2 - (11) Deduce, hence, that $\pi (N)\le \frac{N}{M+1}+\sqrt{N}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q11: dedurre il limite superiore pi(N) <= N/(M+1) + sqrt(N)

L’esercizio 2 - (11) Riduce, quindi, che $\pi (N)\le \frac{N}{M+1}+\sqrt{N}$.

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Exercise 2, Q12: show N/pi(N) >= M for N large enough

Exercise 2 - (12) Show finally that for $N$ sufficiently large, $\frac{N}{\pi (N)}\ge M$.

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q12: mostra N/pi(N) >= M per N sufficientemente grande

Esercizio 2 - (12) Infine dimostri che per $N$ sufficientemente grande, $\frac{N}{\pi (N)}\ge M$.

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Exercise 2, Q13: conclude

Exercise 2 - (13) Conclude.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Esercizio 2, Q13: conclusione

Esercizio 2 - (13) Conclusione.

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Exercise 3, Q1: triominoes (bis), tile a 3x6 grid

Exercise 3 (general-track candidate NOT following the maths specialty, and ALL candidates of the technological track) - Triominoes (bis). We come back here on the tilings by triominoes (cf. question 5 of exercise 1) of grids (here, complete) $a\times b$, rectangular, possibly square, on which some complementary questions are posed. It is recommended not to draw the grids with a pen, but the triominoes with a pencil. One may, to help oneself, as a rough draft, draw the already traced grids shown opposite. (1) Represent a tiling of the grid in the case where $a=3$ and $b=6$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q1: triomino (bis), tessuto di griglia 3x6

Esercizio 3 (candidato di pista generale NON seguendo la specialità di matematica, e TUTTI i candidati della pista tecnologica) - Triominoes (bis). Ritorniamo qui sulle piastrelle con triomini (cfr. domanda 5 dell’esercizio 1) delle griglie (qui, complete) $a\times b$, rettangolare, eventualmente quadrata, su cui sono poste alcune domande complementari. Si consiglia di disegnare le griglie non con una penna, ma i triomini con una matita. Per aiutarsi, si possono disegnare le griglie già tracciate mostrate di fronte. (1) Rappresentano una piastrella della griglia nel caso in cui $a=3$ e $b=6$.

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Exercise 3, Q2: ab divisible by 3 if pavable; find pavable a x a grids

Exercise 3 - (2a) One supposes that one can tile a grid $a\times a$ (one says then that the grid of size $a\times a$ is pavable). Show that the integer $a\times a$ is divisible by $3$. (2b) Find the grids of size $a\times a$ that are pavable.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q2: ab divisibile per 3 se possibile; trovare la possibilità di trovare una x una griglia

Esercizio 3 - (2a) Si suppone che si possa tessere una griglia $a\times a$ (si dice quindi che la griglia di dimensioni $a\times a$ è pavabile). Indicare che il numero intero $a\times a$ è divisibile da $3$. (2b) Trovare le griglie di dimensioni $a\times a$ che siano passabili.

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Exercise 3, Q3: condition on b for a 2 x b grid to be pavable

Exercise 3 - (3) One supposes $a=2$. Under which necessary and sufficient condition on $b$ is the grid of size $2\times b$ pavable?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q3: condizione su b per una griglia da 2 x b di essere pavable

Esercizio 3 - (3) Si suppone $a=2$. In quali condizioni necessarie e sufficienti per $b$ è possibile utilizzare la griglia di dimensioni $2\times b$?

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Exercise 3, Q4: manual works, cutting/reflecting a 2x16 band into a garland of triominoes

Exercise 3 - Manual works. On the bands $2\times 16$ shown opposite, a symmetry of a triomino drawn in black with respect to the axis ${\Delta }_1$ gave the triomino tinted in light at the other end. By symmetry of this new triomino with respect to the axis ${\Delta }_2$, then of the new-new triomino with respect to ${\Delta }_3$, and so on. (4a) Draw your copy at scale $1/2$ of band 1) of the statement, then replace each symmetry by a light plane, making sure that the triominoes remain visible. Finally cut along your traits. One obtains a garland of $8$ identical triominoes. Why? The second band also furnishes $8$ of them. (4b) Discover the bandeau (with the question on the $2\times 16$ band) following the related complementary parts.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q4: lavori manuali, taglio/riflessione di una banda 2x16 in una ghirlanda di triomani

Esercizio 3 - Lavoro manuale. Nelle bande $2\times 16$ mostrate di fronte, una simmetria di un triomino disegnata in nero rispetto all’asse ${\Delta }_1$ ha dato il triomino tintato di luce all’altra estremità. Per simmetria di questo nuovo triomino rispetto all’asse ${\Delta }_2$, poi del nuovo nuovo triomino rispetto al ${\Delta }_3$, e così via. (4a) Disegnare la copia in scala $1/2$ della banda 1) della dichiarazione, quindi sostituire ogni simmetria con un piano leggero, assicurandosi che i triomino rimangano visibili. Finalmente tagliati i tuoi tratti. Si ottiene una ghirlanda di $8$ triomini identici. - Perché? - Perché? La seconda fascia ne fornisce anche $8$. (4b) Scopri la bande (con la domanda sulla banda $2\times 16$) seguendo le relative parti complementari.

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Exercise 3, Q5: a=5, tile grids with b=6, b=9, and b divisible by 3 with b>=6

Exercise 3 - (5) One supposes here that $a=5$. One will help oneself, if needed, with the $16$ small triominoes one has at one’s disposal for tests on rough draft. (5a) Represent a convenient tiling of a grid when $b=6$. (5b) Represent a convenient tiling of a grid when $b=9$. (5c) One supposes $b$ divisible by $3$, $b\ge 6$. Show that one can tile a grid of size $5\times b$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q5: a=5, griglie di piastrelle con b=6, b=9, e b divisibile per 3 con b>=6

L’esercizio 3 - (5) Si suppone qui che $a=5$. Se necessario, si potrà aiutare con i piccoli triomini $16$ a disposizione per le prove su disegno grosso. (5a) Rappresentano un conveniente rivestimento di una griglia quando $b=6$. (5b) Rappresentano un conveniente rivestimento di una griglia quando $b=9$. (5c) Si suppone che $b$ dividibile da $3$, $b\ge 6$. Mostrare che si può tessere una griglia di dimensioni $5\times b$.

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Exercise 3, Q6: if a x b pavable then (a+2) x b pavable

Exercise 3 - (6) One supposes that $ab$ is divisible by $3$ and that one can tile a grid of size $a\times b$. Show that one can tile a grid of size $(a+2)\times b$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q6: se a x b può essere eseguito, allora (a+2) x b può essere eseguito

Esercizio 3 - (6) Si suppone che $ab$ sia divisibile da $3$ e che si possa tessere una griglia di dimensioni $a\times b$. Mostrare che si può tessere una griglia di dimensioni $(a+2)\times b$.

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Exercise 3, Q7: full characterization, a x b (a,b>=4) pavable iff 3 | ab

Exercise 3 - (7) One supposes $a\ge 4$, $b\ge 4$. Show that one can tile a grid of size $a\times b$ if, and only if, $ab$ is divisible by $3$. Deduce the square grids that one can tile.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Congruenze, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Esercizio 3, Q7: completa caratterizzazione, a x b (a,b>=4) pavable if 3

Esercizio 3 - (7) Si suppone $a\ge 4$, $b\ge 4$. Indicare che si può tessere una griglia di dimensioni $a\times b$ se, e solo se, $ab$ è divisibile da $3$. Ridurre le griglie quadrate che si possono piastrellare.

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