Olimpiade Matematica Polacca 1966 — Round 3

Common irrational root of two cubic polynomials implies another

Prove that if two cubic polynomials with integer coefficients have an irrational root in common, then they have another common irrational root.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La radice irrazionale comune di due polinomi cubici implica un altro *

Prova che se due polinomi cubici con coefficienti interi hanno una radice irrazionale in comune, allora hanno un’altra radice irrazionale comune.

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Solve in integers $x^4+4y^4=2(z^4+4u^4)$

Solve in integers the equation $x^4+4y^4=2(z^4+4u^4)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Soluzione in numeri interi $x^4+4y^4=2(z^4+4u^4)$ *

Risolvere in numeri interi l’equazione $x^4+4y^4=2(z^4+4u^4)$.

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Nonneg reals summing to $\le \frac{1}{2}$: product $(1-x_i)\ge \frac{1}{2}$

If nonnegative real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ satisfy $x_1+\cdots +x_n\le \frac{1}{2}$, prove that $(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)\ge \frac{1}{2}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Nonneg reals sommati a $\le \frac{1}{2}$: prodotto $(1-x_i)\ge \frac{1}{2}$ *

Se i numeri reali non negativi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ soddisfano $x_1+\cdots +x_n\le \frac{1}{2}$, dimostrare che $(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)\ge \frac{1}{2}.$

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Sum of squares of face-projection areas constant iff parallelepiped is cube

Prove that the sum of the squares of the areas of the projections of the faces of a rectangular parallelepiped on a plane is the same for all positions of the plane if and only if the parallelepiped is a cube.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Suma dei quadrati delle aree di proiezione facciale costante se parallelepiped è cubo

Prova che la somma dei quadrati delle aree delle proiezioni delle facce di un parallelepiped rettangolare su un piano è la stessa per tutte le posizioni del piano se e solo se il parallelepiped è un cubo.

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Diagonals $AD$, $BE$, $CF$ bisecting area of convex hexagon are concurrent

Each of the diagonals $AD$, $BE$, $CF$ of a convex hexagon $ABCDEF$ bisects the area of the hexagon. Prove that these three diagonals pass through the same point.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le diagonali $AD$, $BE$, $CF$ area di divisione dell’esagono converso sono simultanee

Ogni diagonale $AD$, $BE$, $CF$ di un esagono converso $ABCDEF$ divide l’area dell’esagono. Prova che queste tre diagonali passano attraverso lo stesso punto.

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Among six points in the plane, ratio of longest to shortest distance $\ge \sqrt{3}$

On the plane are chosen six points. Prove that the ratio of the longest distance between two points to the shortest is at least $\sqrt{3}$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tra i sei punti del piano, rapporto tra la distanza più lunga e la distanza più breve $\ge \sqrt{3}$

Sul piano si scelgono sei punti. Prova che il rapporto tra la distanza più lunga tra due punti e la distanza più breve è almeno $\sqrt{3}$.

src_pol_1966_r3__Q06