Olimpiade Matematica Polacca 1967 — Round 3

Sequence with recurrence: prove all terms positive

Real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 3$) satisfy the conditions $a_1=a_n=0$ and $a_{k-1}+a_{k+1}\ge 2a_k$ for $k=2,3,\dots ,n-1$. Prove that none of the numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ is positive.

Topic: Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza con recidiva: dimostrare tutti i termini positivi

I numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 3$) soddisfano le condizioni $a_1=a_n=0$ e $a_{k-1}+a_{k+1}\ge 2a_k$ per $k=2,3,\dots ,n-1$. Prove che nessuno dei numeri $a_1,a_2,\dots ,a_n$ è positivo.

src_pol_1967_r3__Q01

100 people in a hall; prove 4 mutually acquainted exist

There are 100 persons in a hall, everyone knowing at least 66 of the others. Prove that there is a case in which among any four some two of them know each other.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*100 persone in una sala; dimostrare che esistono 4 persone che si conoscono reciprocamente *

Ci sono 100 persone in una sala, ognuno conosce almeno 66 degli altri. Prove che c’è un caso in cui, tra tutti e quattro, due di loro si conoscono.

src_pol_1967_r3__Q02

Two triangles exterior; line through two vertices separates third

On the plane are placed two triangles exterior to each other. Show that there always exists a line passing through two vertices of one triangle and separating the third vertex from all vertices of the other triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due triangoli esterni; la linea attraverso due vertici separa la terza

Sul piano sono posizionati due triangoli esterni l’uno all’altro. Mostrare che esiste sempre una linea che attraversa due vertici di un triangolo e separa il terzo vertice da tutti i vertici dell’altro triangolo.

src_pol_1967_r3__Q03

100 people in hall; 4 who all know each other exist

There are 100 persons in a hall, everyone knowing at least 67 of the others. Prove that there always exist four of them who know each other.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

100 persone in sala; 4 che si conoscono tutti esistono

Ci sono 100 persone in una sala, ognuno conosce almeno 67 degli altri. Prova che ci sono sempre quattro di loro che si conoscono.

src_pol_1967_r3__Q04

Five points ABCDE in space with equal sides and angles; prove coplanar

Points $A,B,C,D,E$ in space have the property that $AB=BC=CD=DE=EA,$ $\angle ABC=\angle BCD=\angle CDE=\angle DEA=\angle EAB.$ Prove that the points $A,B,C,D,E$ lie on a plane.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Cinque punti ABCDE nello spazio con lati e angoli uguali; dimostrare coplanare

I punti $A,B,C,D,E$ nello spazio hanno la proprietà che $AB=BC=CD=DE=EA,$ $\angle ABC=\angle BCD=\angle CDE=\angle DEA=\angle EAB.$ dimostra che i punti $A,B,C,D,E$ si trovano su un piano.

src_pol_1967_r3__Q05

Cyclic polygon with odd sides and equal angles is regular

Prove that if a cyclic polygon with an odd number of sides has all angles equal, then this polygon is regular.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il poligono ciclico con lati unici e angoli uguali è regolare

Prova che se un poligono ciclico con un numero impar di lati ha tutti gli angoli uguali, allora questo poligono è regolare.

src_pol_1967_r3__Q06