Olimpiade Matematica Polacca 1968 — Round 3

Polynomial with integer coefficients, value ±1 at three integer points implies no integer zeros

Prove that if a polynomial with integer coefficients takes a value equal to 1 in absolute value at three different integer points, then it has no integer zeros.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio con coefficienti interi, valore ±1 a tre punti interi implica nessun zero interi

Dimostra che se un polinomio con coefficienti interi prende un valore pari a 1 in valore assoluto a tre diversi punti interi, allora non ha zero interi.

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Rearrange five or more people at round table so all gain two new neighbors

Show that if at least five persons are sitting at a round table, then it is possible to rearrange them so that everyone has two new neighbors.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Riorganizzare cinque o più persone alla tavola rotonda in modo che tutti ottengano due nuovi vicini

Mostrate che, se almeno cinque persone sono sedute a un tavolo rotondo, è possibile riorganizzarle in modo che ognuno abbia due nuovi vicini.

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n distinct numbers: minimize or maximize number of distinct pairwise sums

Given an integer $n\ge 2$, give an example of a set of $n$ mutually different numbers $a_1,\dots ,a_n$ for which the set of their pairwise sums $a_i+a_j$ ($i\ne j$) contains as few different numbers as possible; also give an example of a set of $n$ different numbers $b_1,\dots ,b_n$ for which the set of pairwise sums $b_i+b_j$ ($i\ne j$) contains as many different numbers as possible.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

n numeri distinti: ridurre al minimo o massimizzare il numero di somme differenti in coppia

Dato un numero intero $n\ge 2$, dare un esempio di un insieme di numeri $n$ reciprocamente diversi $a_1,\dots ,a_n$ per i quali l’insieme delle loro somme in coppia $a_i+a_j$ ($i\ne j$) contiene il minor numero possibile di numeri diversi; dare anche un esempio di un insieme di numeri diversi $n$ $b_1,\dots ,b_n$ per i quali l’insieme delle somme in coppia $b_i+b_j$ ($i\ne j$) contiene il maggior numero possibile di numeri diversi.

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Number of lines through n non-collinear points is at least n

On the plane are $n\ge 3$ points, not all on the same line. Drawing all lines passing through two of these points one obtains $k$ different lines. Prove that $k\ge n$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Il numero di linee attraverso n punti non collineari è almeno n

Sul piano ci sono punti $n\ge 3$, non tutti sulla stessa linea. Tracciando tutte le linee che attraversano due di questi punti si ottengono $k$ diverse linee. Prove che $k\ge n$.

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Any four points form convex quadrilateral implies all points form convex polygon

Given $n\ge 4$ points in the plane such that any four of them are the vertices of a convex quadrilateral, prove that these points are the vertices of a convex polygon.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Qualsiasi quadrilaterale convex di quattro punti implica tutti i punti di un poligono convex

Dati i punti $n\ge 4$ del piano in modo tale che tutti e quattro di essi siano i vertici di un quadrilaterale converso, dimostrare che questi punti sono i vertici di un poligono converso.

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Graph connectivity on n>3 points: triangle-free degree-4 graph vs. forced triangle

Consider a set of $a>3$ points in the plane, no three of which are collinear, and a natural number $4<c$. Prove the following statements: (a) If $4\le \frac{c}{2}$, then each point can be connected with at least 4 other points by segments so that no three segments form a triangle. (b) If $4>\frac{c}{2}$, then each point is connected with at least 4 other points by segments, then some three segments form a triangle.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Grafi, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Grafica di connettività su n>3 punti: grafico di grado 4 senza triangolo vs. triangolo forzato

Considera un insieme di punti $a>3$ nel piano, di cui non ci sono tre collineari, e un numero naturale $4<c$. Provare le seguenti affermazioni: (a) Se $4\le \frac{c}{2}$, allora ogni punto può essere collegato con almeno altri 4 punti da segmenti in modo che non formino tre segmenti un triangolo. (b) Se $4>\frac{c}{2}$, ogni punto è collegato con almeno altri 4 punti da segmenti, allora alcuni tre segmenti formano un triangolo.

src_pol_1968_r3__Q06