Olimpiade Matematica Polacca 1969 — Round 3

Real numbers satisfy equality implying quadratic has root in (0,1)

Prove that if real numbers $a,b,c$ satisfy the equality $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$ for some positive number $m$, then the equation $a{x}^2+bx+c=0$ has a root between 0 and 1.

Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*I numeri reali soddisfano l’uguaglianza che implica che il quadratico ha radice in (0,1) *

Prova che se i numeri reali $a,b,c$ soddisfano l’uguaglianza $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$ per un certo numero positivo $m$, allora l’equazione $a{x}^2+bx+c=0$ ha una radice tra 0 e 1.

src_pol_1969_r3__Q01

Find minimum of sum of absolute deviations from distinct real numbers

Given distinct real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$, find the minimum value of the function $y=|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|,x\in \mathbb{R}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca la somma minima delle deviazioni assolute da numeri reali distinti

Date i numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$ distinti, trovare il valore minimo della funzione $y=|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|,x\in \mathbb{R}.$

src_pol_1969_r3__Q02

Natural numbers with qr-ps=1 and p/q<a/b<r/s imply b≥q+s

Show that if natural numbers $a,b,p,q,r,s$ satisfy the conditions $qr-ps=1\text{and}\frac{p}{q}<\frac{a}{b}<\frac{r}{s},$ then $b\ge q+s$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I numeri naturali con qr-ps=1 e p/q<a/b<r/s implicano b≥q+s

Indicare che se i numeri naturali $a,b,p,q,r,s$ soddisfano le condizioni $qr-ps=1\text{and}\frac{p}{q}<\frac{a}{b}<\frac{r}{s},$ $b\ge q+s$.

src_pol_1969_r3__Q03

A figure with exactly n axes of symmetry in space requires n odd

Prove that if a figure has exactly $n$ axes of symmetry in space, then $n$ must be odd.

Topic: Geometria solida Metodo: Invarianti, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Una figura con esattamente n assi di simmetria nello spazio richiede n odd

Prova che se una figura ha esattamente $n$ assi di simmetria nello spazio, allora $n$ deve essere impar.

src_pol_1969_r3__Q04

Equiangular octagon with rational sides has a center of symmetry

Prove that an octagon, whose all angles are equal and all sides have rational length, has a center of symmetry.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un ottagono equangolare con lati razionali ha un centro di simmetria

Prova che un ottagono, i cui angoli sono tutti uguali e tutti i lati hanno una lunghezza razionale, ha un centro di simmetria.

src_pol_1969_r3__Q05

Determine which n allow a polyhedron with exactly n edges

For which values of $n$ does there exist a polyhedron having $n$ edges?

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Determine quale n permette un poliedro con esattamente n bordi

Per quali valori di $n$ esiste un poliedro con bordi $n$?

src_pol_1969_r3__Q06