Olimpiade Matematica Polacca 1970 — Round 3

Choose semicircle point to maximize sum of triangle areas

Diameter $AB$ divides a circle into two semicircles. Points $P_1,P_2,\dots ,P_n$ are given on one of the semicircles in this order. How should a point $C$ be chosen on the other semicircle in order to maximize the sum of the areas of triangles $C{P}_1{P}_2,C{P}_2{P}_3,\dots ,C{P}_{n-1}{P}_n$?

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Scelta il punto di semicircolo per massimizzare la somma delle aree triangolari

Il diametro $AB$ divide un cerchio in due semicerchi. I punti $P_1,P_2,\dots ,P_n$ sono indicati su uno dei semicircoli di questo ordine. Come si deve scegliere un punto $C$ sull’altro semicircolo per massimizzare la somma delle superfici dei triangoli $C{P}_1{P}_2,C{P}_2{P}_3,\dots ,C{P}_{n-1}{P}_n$?

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Three sequences with pairwise distinct terms have a common monotone pair

Consider three sequences $(a_1,a_2,\dots )$, $(b_1,b_2,\dots )$, $(c_1,c_2,\dots )$, each of which has pairwise distinct terms. Prove that there exist two indices $k$ and $l$ such that $k<l$, $a_k<a_l$, $b_k<b_l$, and $c_k<c_l$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tre sequenze con termini separati in coppia hanno una coppia monotona comune

Considerate tre sequenze $(a_1,a_2,\dots )$, $(b_1,b_2,\dots )$, $(c_1,c_2,\dots )$, ognuna delle quali ha termini separati in coppia. Dimostrare che esistono due indici $k$ e $l$ quali $k<l$, $a_k<a_l$, $b_k<b_l$ e $c_k<c_l$.

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n>1 is prime iff n divides all intermediate binomial coefficients

Prove that an integer $n>1$ is a prime number if and only if, for every integer $k$ with $1\le k\le n-1$, the binomial coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ is divisible by $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

n>1 è primo se n divide tutti i coefficienti binomiali intermedi

Prova che un intero $n>1$ è un numero primo se e solo se, per ogni intero $k$ con $1\le k\le n-1$, il coefficiente binomio $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ è divisibile da $n$.

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Pairwise intersecting axis-aligned rectangles all share a common point

In the plane are given two mutually perpendicular lines and $n$ rectangles with sides parallel to the two lines. Show that if every two rectangles have a common point, then all the rectangles have a common point.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I rettangoli allineati all’asse che si intersecano in coppia condividono tutti un punto comune

Nel piano sono indicate due linee reciprocamente perpendicolari e $n$ rettangoli con lati paralleli alle due linee. Mostrare che se ogni due rettangoli hanno un punto comune, allora tutti i rettangoli hanno un punto comune.

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Count partitions of a 12-element set into two-element subsets

In how many ways can a set of $12$ elements be partitioned into two-element subsets?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio partizioni di un insieme di 12 elementi in sottoinsiemi di due elementi

In quanti modi un insieme di elementi $12$ può essere suddiviso in sottoinsiemi di due elementi?

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Find smallest A bounding derivative at 0 for bounded quadratics on [0,1]

Find the smallest real number $A$ such that, for every quadratic polynomial $f(x)$ satisfying $|f(x)|\le 1$ for $0\le x\le 1$, it holds that $f^{\prime }(0)\le A$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova la più piccola derivata di confine A a 0 per quadratici di confine su [0,1]

Trova il numero reale più piccolo $A$ in modo tale che, per ogni polinomio quadratico $f(x)$ che soddisfa $|f(x)|\le 1$ per $0\le x\le 1$, tenga $f^{\prime }(0)\le A$.

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