Infinite sequence of distinct integers with no digit 0
Show that if is an infinite sequence of distinct positive integers, neither of which contains digit in the decimal expansion, then
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Sequenza infinita di numeri interi distinti senza cifra 0
Mostrare che se è una sequenza infinita di numeri interi positivi distinti, nessuno dei quali contiene la cifra nell’espansione decimale, allora
Pool table triangle: ball reflects finite times without hitting vertex
A pool table has the shape of a triangle whose angles are in a rational ratio. A ball positioned at an interior point of the table is hit by a stick. The ball reflects from the sides of the triangle according to the law of reflection. Prove that the ball will move only along a finite number of segments. (It is assumed that the ball does not reach the vertices of the triangle.)
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Triangolo della tavola della piscina: la palla riflette i tempi finiti senza colpire il vertice
Un tavolo da biliardo ha la forma di un triangolo i cui angoli sono in rapporto razionale. Una palla posizionata in un punto interno del tavolo viene colpita da un bastone. La palla riflette dai lati del triangolo secondo la legge del riflesso. Prova che la palla si muoverà solo lungo un numero finito di segmenti. (Si presume che la palla non raggiunga le vertici del triangolo.)
Safe with locks distributed among committee members
A safe is protected with a number of locks. Eleven members of the committee have keys for some of the locks. What is the smallest number of locks necessary so that every six members of the committee can open the safe, but no five members can do it? How should the keys be distributed among the committee members if the number of locks is the smallest?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Sifre con serrature distribuite tra i membri del comitato
Una cassaforte è protetta da un certo numero di serrature. Undici membri del comitato hanno le chiavi di alcune serrature. Qual è il numero minimo di serrature necessario affinché ogni sei membri del comitato possano aprire la cassaforte, ma non cinque membri possono farlo? Come dovrebbero essere distribuite le chiavi tra i membri del comitato se il numero di serrature è il più piccolo?
Positive integers x,y,z satisfying x^y + y^z = z^x, prove min(x,y) >= n
Prove that if positive integers satisfy the equation , then .
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
insieri interi positivi x,y,z che soddisfano x^y + y^z = z^x, dimostrare min(x,y) >= n
Prove che se i numeri interi positivi soddisfano l’equazione , allora .
Largest A such that sum of ten successive numbers is at least A
Find the largest integer such that for any permutation of the natural numbers not exceeding , the sum of some ten successive numbers is at least .
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
A più piccola tale che la somma di dieci numeri successivi sia almeno A
Trovare il più grande intero in modo tale che per qualsiasi permutazione dei numeri naturali non superiore a , la somma di circa dieci numeri successivi sia almeno .
Regular tetrahedron: four surface points with mutual distance >1/2
A regular tetrahedron with unit edge length is given. Prove that: (a) There exist four points on the surface of the tetrahedron, such that the distance from any point of the surface does not exceed . (b) There do not exist three points with this property.
The distance between two points on surface is defined as the length of the shortest polygonal line going over and connecting the two points.
Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF
Tetraedro regolare: quattro punti di superficie con distanza reciproca >1/2
Si dà un tetraedro regolare con lunghezza del bordo unitario. Prova che: (a) sulla superficie del tetraedro esistono quattro punti, in modo tale che la distanza da qualsiasi punto della superficie non superi . b) Non esistono tre punti con questa proprietà.
La distanza tra due punti sulla superficie è definita come la lunghezza della linea poligonale più corta che attraversa e collega i due punti.