Olimpiade Matematica Polacca 1972 — Round 3

Three degree-one polynomials whose n-th powers satisfy u1^n+u2^n=u3^n are all proportional to Ax+B.

Polynomials $u_i(x)=a_{i}x+b_i$ ($a_i,b_i\in \mathbb{R}$, $i=1,2,3$) satisfy $u_1(x{)}^n+u_2(x{)}^n=u_3(x{)}^n\text{for some integer }n\ge 2.$ Prove that there exist real numbers $A$, $B$, $c_1$, $c_2$, $c_3$ such that $u_i(x)=c_i(Ax+B)$ for $i=1,2,3$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre polinomi di grado uno le cui potenze n-th soddisfano u1^n+u2^n=u3^n sono tutte proporzionali a Ax+B.

I polinomi $u_i(x)=a_{i}x+b_i$ ($a_i,b_i\in \mathbb{R}$, $i=1,2,3$) soddisfano $u_1(x{)}^n+u_2(x{)}^n=u_3(x{)}^n\text{for some integer }n\ge 2.$ Prove che esistono numeri reali $A$, $B$, $c_1$, $c_2$, $c_3$ tali da $u_i(x)=c_i(Ax+B)$ per $i=1,2,3$.

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Among all closed polygonal lines through n given points (no three collinear), a minimum-length one is non-self-intersecting.

On the plane are given $n>2$ points, no three of which are collinear. Prove that among all closed polygonal lines passing through these points, any one with the minimum length is non-selfintersecting.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tra tutte le linee poligonali chiuse attraverso n punti dati (nessun tre collineari), una di lunghezza minima non si interseca.

Sul piano sono indicati i punti $n>2$, di cui non tre sono collineari. Prove che tra tutte le linee poligonali chiuse che attraversano questi punti, qualsiasi con la lunghezza minima non è autointersezione.

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There is an integer-coefficient polynomial approximating 1/2 to within 1/1000 on [1/10, 2/10].

Prove that there is a polynomial $P(x)$ with integer coefficients such that for all $x$ in the interval $\left[\frac{1}{10},\frac{2}{10}\right]$ we have $\left|P(x)-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{1000}$.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

C’è un polinomio a coefficiente interi che si approssimano da 1/2 a 1/1000 su [1/10, 2/10].

Prova che esiste un polinomio $P(x)$ con coeficienti interi in modo che per tutti $x$ nell’intervallo $\left[\frac{1}{10},\frac{2}{10}\right]$ abbiamo $\left|P(x)-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{1000}$.

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Triangles ABC with AC, BC tangent to a sphere K and fixed A,B on a line: a maximum-perimeter triangle also has maximum area.

Points $A$ and $B$ are given on a line having no common points with a sphere $K$. The feet $P$ of the perpendicular from the center of $K$ to the line $AB$ is positioned between $A$ and $B$, and the lengths of segments $AP$ and $BP$ both exceed the radius of $K$. Consider the set $Z$ of all triangles $ABC$ whose sides $AC$ and $BC$ are tangent to $K$. Prove that among all triangles in $Z$, a triangle $T$ with a maximum perimeter also has a maximum area.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli ABC con AC, BC tangente a una sfera K e fisso A,B su una linea: un triangolo a perimetro massimo ha anche superficie massima.

I punti $A$ e $B$ sono indicati su una linea senza punti comuni con una sfera $K$. I piedi $P$ della perpendicolare dal centro di $K$ alla linea $AB$ sono posizionati tra $A$ e $B$, e le lunghezze dei segmenti $AP$ e $BP$ superano entrambi il raggio di $K$. Si consideri l’insieme $Z$ di tutti i triangoli $ABC$ i cui lati $AC$ e $BC$ sono tangenti a $K$. Prova che tra tutti i triangoli di $Z$, un triangolo $T$ con un perimetro massimo ha anche una superficie massima.

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All subsets of a finite set can be sequenced so that consecutive subsets differ in exactly one element.

Prove that all subsets of a finite set can be arranged in a sequence in which every two successive subsets differ in exactly one element.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tutti i sottoinsiemi di un insieme finito possono essere sequenziati in modo che i sottoinsiemi consecutivi differiscano esattamente in un elemento.

Prova che tutti i sottosetti di un insieme finito possono essere organizzati in una sequenza in cui ogni due sottosetti successivi differiscono in un elemento esatto.

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The digit sum of 1972^n is unbounded as n tends to infinity.

Prove that the sum of digits of the number $1972^n$ is not bounded from above when $n$ tends to infinity.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma digitali di 1972^n è illimitata in quanto n tende all’infinito.

Prova che la somma dei numeri $1972^n$ non è limitata dall’alto quando $n$ tende all’infinito.

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