Olimpiade Matematica Polacca 1975 — Round 3

Sequence whose first n terms sum to zero and which is periodic with period n; prove some starting index N makes all partial sums from N nonnegative

A sequence $(a_k{)}_{k=1}^{\infty }$ has the property that there is a natural number $n$ such that $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$ and $a_{n+k}=a_k$ for all $k$. Prove that there exists a natural number $N$ such that ${\sum }_{i=N}^{N+k}{a}_i\ge 0\text{for }k=0,1,2,\dots .$

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza la cui prima n termini somma a zero e che è periodica con il periodo n; dimostrare che qualche indice iniziale N rende tutte le somme parziali da N non negative

Una sequenza $(a_k{)}_{k=1}^{\infty }$ ha la proprietà che esiste un numero naturale $n$ tale che $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$ e $a_{n+k}=a_k$ per tutti $k$. Prova che esiste un numero naturale $N$ tale che ${\sum }_{i=N}^{N+k}{a}_i\ge 0\text{for }k=0,1,2,\dots .$

src_pol_1975_r3__Q01

Finitely many segments on a regular tetrahedron of edge 1 joining every pair of vertices by a polygonal path; can total length be less than 1+sqrt(3)?

On the surface of a regular tetrahedron of edge length $1$ are given finitely many segments such that every two vertices of the tetrahedron can be joined by a polygonal line consisting of given segments. Can the sum of the lengths of the given segments be less than $1+\sqrt{3}$?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Fine molti segmenti su un tetraedro regolare di bordo 1 che uniscono ogni coppia di vertici da un percorso poligonale; la lunghezza totale può essere inferiore a 1+sqrt(3)?

Sulla superficie di un tetraedro regolare di lunghezza di bordo $1$ sono dati finitamente molti segmenti in modo tale che ogni due vertici del tetraedro possono essere uniti da una linea poligonale costituita da segmenti dati. La somma delle lunghezze dei segmenti dati può essere inferiore a $1+\sqrt{3}$?

src_pol_1975_r3__Q02

Find smallest positive alpha for which some beta>0 gives sqrt(1+x)+sqrt(1-x)<=2-x^alpha/beta on [0,1], and the smallest such beta

Find the smallest positive number $\alpha$ for which there is a positive number $\beta$ such that for all $0\le x\le 1$, $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le 2-\frac{x^{\alpha }}{\beta }.$ For each such $\alpha$ determine the smallest $\beta >0$ for which this condition holds.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova il più piccolo alfa positivo per il quale qualche beta>0 dà sqrt(1+x)+sqrt(1-x)<=2-x^alpha/beta su [0,1], e il più piccolo beta

Trova il numero positivo $\alpha$ più piccolo per il quale esiste un numero positivo $\beta$ tale che per tutti $0\le x\le 1$, $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le 2-\frac{x^{\alpha }}{\beta }.$ per ciascuna di tali $\alpha$ si determina il numero $\beta >0$ più piccolo per il quale si applica questa condizione.

src_pol_1975_r3__Q03

A natural number has all decimal digits among 1,3,7,9; prove its digits can be rearranged to form a multiple of 7

All decimal digits of some natural number are $1,3,7$, and $9$. Prove that one can rearrange its digits so as to obtain a number divisible by $7$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un numero naturale ha tutti i numeri decimali tra 1,3,7,9; dimostra che i suoi numeri possono essere riorganizzati per formare un multiple di 7

Tutte le cifre decimali di qualche numero naturale sono $1,3,7$ e $9$. Prova che si possono riordinare i suoi numeri in modo da ottenere un numero divisibile per $7$.

src_pol_1975_r3__Q04

Characterize when a triangle with one angle alpha admits circumradius R and inradius r: iff 2R/r >= 1/(sin(alpha/2)(1-sin(alpha/2)))

Show that it is possible to circumscribe a circle of radius $R$ about, and inscribe a circle of radius $r$ in some triangle with one angle equal to $\alpha$, if and only if $\frac{2R}{r}\ge \frac{1}{\sin \frac{\alpha }{2}\left(1-\sin \frac{\alpha }{2}\right)}.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Caricare quando un triangolo con un angolo alfa ammette il circondario R e l’inradio r: iff 2R/r >= 1/(sin(alfa/2)(1-sin(alfa/2)))

Mostrare che è possibile circonscrivere un cerchio di raggio $R$ circa e iscrivere un cerchio di raggio $r$ in un triangolo con un angolo uguale a $\alpha$, se e solo se $\frac{2R}{r}\ge \frac{1}{\sin \frac{\alpha }{2}\left(1-\sin \frac{\alpha }{2}\right)}.$

src_pol_1975_r3__Q05

Given S(x)=1-x and T(x)=x/2 on [0,1], does a composition f=g1 o … o gn of these satisfy f(1/2)=1975/2^1975?

On the interval $[0,1]$ are given functions $S(x)=1-x$ and $T(x)=x/2$. Does there exist a function of the form $f=g_1\circ g_2\circ \cdots \circ g_n$, where $n\in \mathbb{N}$ and each $g_k$ is either $S(x)$ or $T(x)$, such that $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1975}{2^{1975}}?$

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Backward, Casework Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dato che S(x)=1-x e T(x)=x/2 su [0,1], una composizione f=g1 o … O gn di questi soddisfa f 1/2)=1975/2^1975?

All’intervallo $[0,1]$ vengono indicate le funzioni $S(x)=1-x$ e $T(x)=x/2$. Esiste una funzione del modulo $f=g_1\circ g_2\circ \cdots \circ g_n$, in cui $n\in \mathbb{N}$ e ciascuna $g_k$ è $S(x)$ o $T(x)$, in modo tale che $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1975}{2^{1975}}?$

src_pol_1975_r3__Q06