Olimpiade Matematica Polacca 1976

Decide whether a product of five sines of multiples of pi/18 is rational.

Is the number $sin \frac{π}{18} sin \frac{3 π}{18} sin \frac{5 π}{18} sin \frac{7 π}{18} sin \frac{9 π}{18}$ rational?

Topic: Trigonometria, Teoria dei Numeri Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Decidere se un prodotto di cinque seni dei moltipli di pi/18 è razionale.

Il numero $sin \frac{π}{18} sin \frac{3 π}{18} sin \frac{5 π}{18} sin \frac{7 π}{18} sin \frac{9 π}{18}$ è razionale?

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Four sequences satisfy coupled recurrences; given periodicity for some k, prove the second terms vanish.

Four sequences of real numbers $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ , $(d_{n})$ satisfy for all $n$ , $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = b_{n} + c_{n},$ $c_{n + 1} = c_{n} + d_{n}, d_{n + 1} = d_{n} + a_{n} .$ Prove that if $a_{k + m} = a_{m}$ , $b_{k + m} = b_{m}$ , $c_{k + m} = c_{m}$ , $d_{k + m} = d_{m}$ for some $k \geq 1$ , $n \geq 1$ , then $a_{2} = b_{2} = c_{2} = d_{2} = 0$ .

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quattro sequenze soddisfano ricorrenze accoppiate; data la periodicità per alcuni k, dimostrano che i secondi termini scompaiono.

Quattro sequenze di numeri reali $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ , $(d_{n})$ soddisfano per tutti $n$ , $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = b_{n} + c_{n},$ $c_{n + 1} = c_{n} + d_{n}, d_{n + 1} = d_{n} + a_{n} .$ Prove che se $a_{k + m} = a_{m}$ , $b_{k + m} = b_{m}$ , $c_{k + m} = c_{m}$ , $d_{k + m} = d_{m}$ per alcuni $k \geq 1$ , $n \geq 1$ , allora $a_{2} = b_{2} = c_{2} = d_{2} = 0$ .

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For any tetrahedron, the three products of pairs of opposite edges are sides of a triangle.

Prove that for each tetrahedron, the three products of pairs of opposite edges are sides of a triangle.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per qualsiasi tetraedro, i tre prodotti di coppie di bordi opposti sono lati di un triangolo.

Prova che per ogni tetraedro, i tre prodotti di coppie di bordi opposti sono lati di un triangolo.

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If the diagonals of one quadrilateral with given sides are perpendicular, prove they are perpendicular for any other quadrilateral with the same sides.

The diagonals of some quadrilateral with sides $a, b, c, d$ are perpendicular. Prove that the diagonals of any other quadrilateral with sides $a, b, c, d$ also are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Se le diagonali di un quadrilaterale con un dato lato sono perpendicolari, dimostrare che sono perpendicolari per qualsiasi altro quadrilaterale con gli stessi lati.

I diagonali di alcuni quadrilaterali con lati $a, b, c, d$ sono perpendicolari. Prova che anche le diagonali di qualsiasi altro quadrilaterale con lati $a, b, c, d$ sono perpendicolari.

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Optimize the number of net throws a trawler makes fishing illegally, given a per-throw probability of being caught and forfeiting all gains, to maximize expected profit.

A trawler is about to fish in territorial waters of a neighboring country, for what he has no licence. Whenever he throws the net, the coast-guard may stop him with the probability $1/ k$ , where $k$ is a fixed positive integer. Each throw brings him a fish landing of a fixed weight. However, if the coast-guard stops him, they will confiscate his entire fish landing and demand him to leave the country. The trawler plans to throw the net $n$ times before he returns to territorial waters in his country. Find $n$ for which his expected profit is maximal.

Topic: Probabilità Metodo: Estremalità Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Optimizzare il numero di lanci di rete che un pescatore di pesce fa illegalmente, data la probabilità per lancio di essere catturato e di perdere tutti i guadagni, per massimizzare il profitto atteso.

Un pescatore sta per pescare nelle acque territoriali di un paese vicino, per ciò che non ha una patente. Ogni volta che lancia la rete, la guardia costiera può fermarlo con la probabilità $1/ k$ , dove $k$ è un intero positivo fisso. Ogni lancio gli porta un pesce che sbarca con un peso fisso. Tuttavia, se la guardia costiera lo ferma, confisceranno tutto il suo sbarco di pesce e gli chiederanno di lasciare il paese. Il peschereccio di peschereccio prevede di lanciare la rete $n$ volte prima di tornare nelle acque territoriali del suo paese. Trova $n$ per il quale il profitto previsto è massimo.

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An increasing function from N to R that is additive on products of naturals must be a logarithm.

An increasing function $f : N \to R$ satisfies $f (k l) = f (k) + f (l) for all k, l \in N .$ Show that there is a real number $p > 1$ such that $f (n) = lo g_{p} n$ for all $n$ .

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Una funzione in aumento da N a R che è additiva sui prodotti naturali deve essere un logaritmo.

Una funzione in aumento $f : N \to R$ soddisfa $f (k l) = f (k) + f (l) for all k, l \in N .$ Mostra che esiste un numero reale $p > 1$ tale che $f (n) = lo g_{p} n$ per tutti $n$ .

src_pol_1976_r3__Q06

competition	Olimpiade Matematica Polacca 1976 — Round 3
year	1976
level	Olimpiade Polacca Round 3

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Olimpiade Matematica Polacca 1976 — Round 3

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