Olimpiade Matematica Polacca 1977 — Round 3

Quadrilateral ABCD with given angles; prove AB and CD perpendicular

Let $ABCD$ be a quadrilateral with $\angle BAD=60^{\circ }$, $\angle BAC=40^{\circ }$, $\angle ABD=80^{\circ }$, $\angle ABC=70^{\circ }$. Prove that the lines $AB$ and $CD$ are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale con angoli dati; prova AB e CD perpendicolari

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale con $\angle BAD=60^{\circ }$, $\angle BAC=40^{\circ }$, $\angle ABD=80^{\circ }$, $\angle ABC=70^{\circ }$. Prove che le linee $AB$ e $CD$ sono perpendicolari.

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Nested circles and polygons; prove radii converge to zero

Let $n\ge 3$ be a given integer. A sequence $K_0,K_1,K_2,\dots$ of circles and a sequence $W_1,W_2,\dots$ of convex $n$-gons satisfy $K_0\supset W_1\supset K_1\supset W_2\supset K_2\supset \cdots$ for all $i=1,2,\dots$. Prove that the sequence of the radii of the circles $K_n$ converges to zero.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli e poligoni nidificati; prove che i radii convergono a zero

$n\ge 3$ sia un dato numero intero. Una sequenza $K_0,K_1,K_2,\dots$ di cerchi e una sequenza $W_1,W_2,\dots$ di convexe $n$-goni soddisfano $K_0\supset W_1\supset K_1\supset W_2\supset K_2\supset \cdots$ per tutti $i=1,2,\dots$. Prova che la sequenza dei radii dei cerchi $K_n$ converge a zero.

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Bit-complement function on binary integers; AP input gives non-increasing output

Consider the set $A=\{0,1,2,\dots ,2^n-1\}$. A function $f:A\to A$ is given by $f(x_0+2x_1+2^2{x}_2+\cdots +2^{n-1}{x}_{n-1})=(1-x_0)+2(1-x_1)+2^2(1-x_2)+\cdots +2^{n-1}(1-x_{n-1})$ for every $0$-$1$ sequence $(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})$. Show that if $a_1,a_2,\dots ,a_m$ are consecutive terms of an arithmetic progression, then the sequence $f(a_1),f(a_2),\dots ,f(a_m)$ is not increasing.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione di complemento bit su numeri interi binari; input AP dà output non in aumento

Considerate l’insieme $A=\{0,1,2,\dots ,2^n-1\}$. Una funzione $f:A\to A$ viene data da $f(x_0+2x_1+2^2{x}_2+\cdots +2^{n-1}{x}_{n-1})=(1-x_0)+2(1-x_1)+2^2(1-x_2)+\cdots +2^{n-1}(1-x_{n-1})$ per ogni sequenza $0$-$1$ $(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})$. Mostrare che se $a_1,a_2,\dots ,a_m$ sono termini consecutivi di una progressione aritmetica, la sequenza $f(a_1),f(a_2),\dots ,f(a_m)$ non aumenta.

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Functional equation h(a+x)=h(a)h(x); prove h(x)=c^x

A function $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is differentiable and satisfies $h(a+x)=h(a)\cdot h(x)$ for all $x$, where $a$ and $b$ are given positive real numbers and $b\ne 1$. Suppose that $h^{\prime }(0)>0$ and the function $h^{\prime }$ is continuous at $x=0$. Prove that $a=b$ and that there is a real number $c$ such that $h(x)=c^x$ for all $x$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale h(a+x) = h(a) h(x); prova h(x) = c^x

Una funzione $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è differenziabile e soddisfa $h(a+x)=h(a)\cdot h(x)$ per tutte le $x$, dove $a$ e $b$ sono dati numeri reali positivi e $b\ne 1$. Supponiamo che $h^{\prime }(0)>0$ e la funzione $h^{\prime }$ sia continua a $x=0$. Prova che $a=b$ e che esiste un numero reale $c$ tale da $h(x)=c^x$ per tutti $x$.

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Convex polygon has a circumscribed circle through three consecutive vertices containing the polygon

Show that for every convex polygon there is a circle passing through three consecutive vertices of the polygon and containing the entire polygon.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il poligono converso ha un cerchio circoscritto attraverso tre vertici consecutivi che contengono il poligono

Mostrare che per ogni poligono convex c’è un cerchio che attraversa tre vertici consecutivi del poligono e contiene l’intero poligono.

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Polynomial (x-a)^k Q(x) with a nonzero has at least k+1 nonzero coefficients

Consider the polynomial $W(x)=(x-a{)}^{k}Q(x)$, where $a\ne 0$, $Q(x)$ is a nonzero polynomial, and $k$ is a natural number. Prove that $W$ has at least $k+1$ nonzero coefficients.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il polinomio (x-a)^k Q(x) con un non-zero ha almeno k+1 coefficienti non-zero

Considera il polinomio $W(x)=(x-a{)}^{k}Q(x)$, dove $a\ne 0$, $Q(x)$ è un polinomio non zero e $k$ è un numero naturale. Prova che $W$ ha almeno $k+1$ coefficienti non zero.

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