Olimpiade Matematica Polacca 1978 — Round 3

Ray reflecting in an angle is absorbed at the vertex; prove a natural number n exists so any ray reflects at most n times.

A ray of light reflects from the rays of a given angle. A ray that enters the vertex of the angle is absorbed. Prove that there is a natural number $n$ such that any ray can reflect at most $n$ times.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il raggio che riflette in un angolo viene assorbito al vertice; dimostra che esiste un numero naturale n in modo che qualsiasi raggio rifletta al massimo n volte.

Un raggio di luce si riflette dai raggi di un determinato angolo. Un raggio che entra nel vertice dell’angolo viene assorbito. Prova che esiste un numero naturale $n$ tale che qualsiasi raggio possa riflettere al massimo $n$ volte.

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Partition lattice points with at least one coordinate not divisible by 4 into unit-distance pairs.

In a coordinate plane, consider the set of points with integer coordinates at least one of which is not divisible by 4. Prove that these points can be partitioned into pairs such that the distance between points in each pair equals 1.

In other words, an infinite chessboard, whose cells with both coordinates divisible by 4 are cut out, cannot be tiled by dominoes.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Colorazione, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Punti della rete di partizione con almeno una coordinata non divisibile per 4 in coppie unitarie di distanza.

In un piano di coordinate, considera l’insieme di punti con coordinate interi, almeno una delle quali non è divisibile per 4. Prova che questi punti possono essere suddivisi in coppie in modo tale che la distanza tra i punti di ciascuna coppia sia uguale a 1.

In altre parole, una scacchiera infinita, le cui cellule con entrambe le coordinate divisibili per 4 sono tagliate fuori, non può essere piastrellato da dominò.

src_pol_1978_r3__Q02

If polynomials P,Q,R of degree less than m satisfy the given identity, prove each is zero.

Prove that if $m$ is a natural number and $P,Q,R$ polynomials of degrees less than $m$ satisfying $x^{2m}P(x,y)+y^{2m}Q(x,y)=(x+y{)}^{2m}R(x,y),$ then each of the polynomials is zero.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Se i polinomi P,Q,R di grado inferiore a m soddisfano l’identità data, dimostrare che ciascuno è zero.*

Prova che se $m$ è un numero naturale e $P,Q,R$ polinomi di gradi inferiori a $m$ soddisfa $x^{2m}P(x,y)+y^{2m}Q(x,y)=(x+y{)}^{2m}R(x,y),$ allora ciascuno dei polinomi è zero.

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For a set X of n elements, prove the sum of |A∩B| over all pairs of subsets equals n·4^{n-1}.

Let $X$ be a set of $n$ elements. Prove that the sum of the numbers of elements of sets $A\cap B$, where $A$ and $B$ run over all subsets of $X$, is equal to $n\cdot 4^{n-1}$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per un insieme X di n elementi, provare la somma di A ∩B di tutti i coppie di sottoinsiemi è uguale a n·4^{n-1}.

Si deve $X$ essere un insieme di elementi $n$. Prove che la somma dei numeri di elementi di set $A\cap B$, dove $A$ e $B$ si corrono su tutti i sottoinsiemi di $X$, è uguale a $n\cdot 4^{n-1}$.

src_pol_1978_r3__Q04

For the recursively defined sequence, prove it contains infinitely many nonpositive terms.

For a given real number $a$, define the sequence $(a_n)$ by $a_1=a$ and $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right)& \text{if }{a}_n\ne 0,\\ 0& \text{if }{a}_n=0.\end{array}$ Prove that the sequence $(a_n)$ contains infinitely many nonpositive terms.

Topic: Algebra Metodo: Trigonometria, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per la sequenza definita in modo ricorrente, dimostrare che contiene infiniti termini non positivi.

Per un dato numero reale $a$, definire la sequenza $(a_n)$ da $a_1=a$ e $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right)& \text{if }{a}_n\ne 0,\\ 0& \text{if }{a}_n=0.\end{array}$ Prove che la sequenza $(a_n)$ contiene infiniti termini non positivi.

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For a tetrahedron with altitudes h_i and distances d_i between opposite edge pairs, prove the reciprocal-square sums are equal.

Prove that if $h_1,h_2,h_3,h_4$ are the altitudes of a tetrahedron and $d_1,d_2,d_3$ are the distances between the pairs of opposite edges of the tetrahedron, then $\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_3^2}+\frac{1}{h_4^2}=\frac{1}{d_1^2}+\frac{1}{d_2^2}+\frac{1}{d_3^2}.$

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Per un tetraedro con altitudini h_i e distanze d_i tra coppie di bordi opposte, dimostrare che le somme squadrate reciproche sono uguali.

Prova che se $h_1,h_2,h_3,h_4$ sono le altitudini di un tetraedro e $d_1,d_2,d_3$ sono le distanze tra le coppie di bordi opposti del tetraedro, allora $\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_3^2}+\frac{1}{h_4^2}=\frac{1}{d_1^2}+\frac{1}{d_2^2}+\frac{1}{d_3^2}.$

src_pol_1978_r3__Q06