Olimpiade Matematica Polacca 1979 — Round 3

Distinct remainders set: divisibility by n

Let be given a set $\{r_1,r_2,\dots ,r_n\}$ of natural numbers that give distinct remainders when divided by a natural number $n$. Prove that if $k\ge n/2$, then for every integer $n$ there exist indices $i$ and $j$ (not necessarily distinct) such that $r_i+r_j-n$ is divisible by $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Principio dei cassetti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

insieme di rimanenti distinti: divisibilità per n

Si deve dare un insieme $\{r_1,r_2,\dots ,r_n\}$ di numeri naturali che danno restanti distinti quando diviso da un numero naturale $n$. Prova che se $k\ge n/2$, allora per ogni numero intero $n$ esistono indici $i$ e $j$ (non necessariamente distinti) in modo tale che $r_i+r_j-n$ sia divisibile da $n$.

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Four tetrahedron face lines concurrent iff products of opposite sides equal

Prove that the four lines, joining the vertices of a tetrahedron with the incenters of the opposite faces, have a common point if and only if the three products of the lengths of opposite edges are equal.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Quattro linee di faccia tetraedro concomitanti se i prodotti di lati opposti sono uguali *

Prove che le quattro linee che uniscono i vertici di un tetraedro con gli incentri delle facce opposte hanno un punto comune se e solo se i tre prodotti delle lunghezze dei bordi opposti sono uguali.

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Probability of exactly k successes in n independent tests

An experiment consists of performing $n$ independent tests. The $i$-th test is successful with the probability equal to $p_i$. Let $p_k$ be the probability that exactly $k$ tests succeed. Prove that ${\sum }_{k=0}^{n}k{p}_k={\sum }_{i=1}^n{p}_i.$

Topic: Probabilità, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Probabilità di esatti successi k in n test indipendenti

Un esperimento consiste nell’esecuzione di test indipendenti $n$. La prova $i$-è riuscita con probabilità pari a $p_i$. La probabilità di successo dei test $k$ è $p_k$. Provare che ${\sum }_{k=0}^{n}k{p}_k={\sum }_{i=1}^n{p}_i.$

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Sequence in [1,A] with ratio bound implies sequence in [1,A]

Let $A>1$ and $B>1$ be real numbers and $(a_n)$ be a sequence of numbers in the interval $[1,AB]$. Prove that there exists a sequence $(s_n)$ of numbers in the interval $[1,A]$ such that $\frac{a_m}{s_m}\le B\cdot \frac{a_n}{s_n}\text{for all }m,n=1,2,\dots$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza in [1,A] con limite di rapporto implica sequenza in [1,A]

$A>1$ e $B>1$ siano numeri reali e $(a_n)$ una sequenza di numeri nell’intervallo $[1,AB]$. Prove che esiste una sequenza $(s_n)$ di numeri nell’intervallo $[1,A]$ tale che $\frac{a_m}{s_m}\le B\cdot \frac{a_n}{s_n}\text{for all }m,n=1,2,\dots$

src_pol_1979_r3__Q04

Product of quadrilateral sides inscribed in unit circle does not exceed 4

Prove that the product of the sides of a quadrilateral inscribed in a circle with radius 1 does not exceed 4.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il prodotto dei lati quadrilaterali inseriti nel cerchio unitario non supera 4

Provare che il prodotto dei lati di un quadrilaterale inserito in un cerchio di raggio 1 non supera il 4.

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Polynomial of degree n>1 with n distinct roots: sum of reciprocal derivative values is zero

A polynomial $w$ of degree $n>1$ has $n$ distinct roots $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Prove that: $\frac{1}{w^{\prime }(x_1)}+\frac{1}{w^{\prime }(x_2)}+\cdots +\frac{1}{w^{\prime }(x_n)}=0.$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio di grado n>1 con n radici distinte: la somma dei valori derivati reciproci è zero

Un polinomio $w$ di grado $n>1$ ha $n$ radici distinte $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Provare che: $\frac{1}{w^{\prime }(x_1)}+\frac{1}{w^{\prime }(x_2)}+\cdots +\frac{1}{w^{\prime }(x_n)}=0.$

src_pol_1979_r3__Q06