Olimpiade Matematica Polacca 1980 — Round 3

Area of octagon inscribed in circle with alternating side lengths 1 and 2

Compute the area of an octagon inscribed in a circle, whose four sides have length 1 and the other four sides have length 2.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area di ottagone inserita in cerchio con lunghezze laterali alternate 1 e 2

Calcolare l’area di un ottagono inscritto in un cerchio, i cui quattro lati hanno lunghezza 1 e gli altri quattro lati hanno lunghezza 2.

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Equation $a^2+b^2+c^2=3abc$ has natural number solutions greater than any $n$

Prove that for every $n$ there exists a solution of the equation $a^2+b^2+c^2=3abc$ in natural numbers $a,b,c$ greater than $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

L’equazione $a^2+b^2+c^2=3abc$ ha soluzioni di numeri naturali maggiori di qualsiasi $n$

Prova che per ogni $n$ esiste una soluzione dell’equazione $a^2+b^2+c^2=3abc$ nei numeri naturali $a,b,c$ più grandi di $n$.

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Choose starting integer $k$ to maximize probability of hitting exactly 100

Let $k$ be an integer in the interval $[1,99]$. A fair coin is to be flipped 100 times. Let ${\epsilon }_j=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if the }j\text{-th flip is a head,}\\ 2,& \text{if the }j\text{-th flip is a tail.}\end{array}$ Let $M_k$ denote the probability that there exists a number $i$ such that $k+{\epsilon }_1+{\epsilon }_2+\cdots +{\epsilon }_i=100$. How is $k$ to be chosen so as to maximize the probability $M_k$?

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Scelta il numero intero iniziale $k$ per massimizzare la probabilità di raggiungere esattamente 100

$k$ sia un numero intero nell’intervallo $[1,99]$. Una moneta giusta deve essere lanciata cento volte. ${\epsilon }_j=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if the }j\text{-th flip is a head,}\\ 2,& \text{if the }j\text{-th flip is a tail.}\end{array}$ $M_k$ indichi la probabilità che esista un numero $i$ tale da $k+{\epsilon }_1+{\epsilon }_2+\cdots +{\epsilon }_i=100$. Come si sceglie $k$ per massimizzare la probabilità $M_k$?

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Decompose any three-variable polynomial into symmetric and antisymmetric parts

Show that for every polynomial $W$ in three variables there exist polynomials $U$ and $V$ such that: $W(x,y,z)=U(x,y,z)+V(x,y,z),$ $U(x,y,z)=U(y,x,z),$ $V(x,y,z)=-V(y,x,z).$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Decomponere qualsiasi polinomio a tre variabili in parti simmetriche e antisimetriche

Mostra che per ogni polinomio $W$ in tre variabili esistono polinomi $U$ e $V$ tali che: $W(x,y,z)=U(x,y,z)+V(x,y,z),$ $U(x,y,z)=U(y,x,z),$ $V(x,y,z)=-V(y,x,z).$

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Tetrahedron with all six midpoint-edge triangles equal in area is regular

In a tetrahedron, the six triangles determined by an edge of the tetrahedron and the midpoint of the opposite edge all have equal area. Prove that the tetrahedron is regular.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il tetraedro con tutti e sei i triangoli di bordo medio uguali di superficie è regolare

In un tetraedro, i sei triangoli determinati da un bordo del tetraedro e il punto medio del bordo opposto hanno tutte una superficie uguale. Prove che il tetraedro è regolare.

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Prove combinatorial identity summing to $2^{2n}$

Prove that for every natural number $n$ we have: ${\sum }_{k=1}^n{2}^{2k-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=2^{2n}.$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove l’identità combinatoria sommata a $2^{2n}$

Prove che per ogni numero naturale $n$ abbiamo: ${\sum }_{k=1}^n{2}^{2k-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=2^{2n}.$

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