Olimpiade Matematica Polacca 1981 — Round 3

Two intersecting lines lie in orthogonal planes; prove existence of a circle whose points all lie on the line of intersection of such plane pairs.

Two intersecting lines $a$ and $b$ are given in a plane. Consider all pairs of orthogonal planes $\alpha ,\beta$ such that $a\subset \alpha$ and $b\subset \beta$. Prove that there is a circle such that every its point lies on the line $\alpha \cap \beta$ for some $\alpha$ and $\beta$.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due linee di intersezione si trovano in piani ortogonali; dimostrare l’esistenza di un cerchio i cui punti si trovano tutti sulla linea di intersezione di tali coppie di piani.

Due linee di intersezione $a$ e $b$ sono indicate in un piano. Considerare tutte le coppie di piani ortogonali $\alpha ,\beta$ come $a\subset \alpha$ e $b\subset \beta$. Prove che esiste un cerchio tale che ogni suo punto si trova sulla linea $\alpha \cap \beta$ per alcuni $\alpha$ e $\beta$.

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In triangle ABC the perpendicular bisectors of AB and AC meet BC at X and Y; prove BC=XY iff tan B tan C = 3 or = -1.

In a triangle $ABC$, the perpendicular bisectors of sides $AB$ and $AC$ intersect $BC$ at $X$ and $Y$. Prove that $BC=XY$ if and only if $\tan B\tan C=3$ or $\tan B\tan C=-1$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC i bisettori perpendicolari di AB e AC incontrano BC a X e Y; dimostrare BC=XY se B tan C = 3 o = -1.

In un triangolo $ABC$, i bisettori perpendicolari dei lati $AB$ e $AC$ si intersecano a $BC$ e $Y$. Prova che $BC=XY$ se e solo se $\tan B\tan C=3$ o $\tan B\tan C=-1$.

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Prove a product inequality bounding the product of |x-alpha^k|/(x+alpha^k) by the product of (1-alpha^k)/(1+alpha^k).

Prove that for any natural number $n$ and real numbers $\alpha$ and $x$ satisfying ${\alpha }^{n+1}\le x\le 1$ and $0<\alpha <1$ it holds that ${\prod }_{k=1}^n\left|\frac{x-{\alpha }^k}{x+{\alpha }^k}\right|\le {\prod }_{k=1}^n\frac{1-{\alpha }^k}{1+{\alpha }^k}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove una disuguaglianza di prodotto che limita il prodotto di x-alpha^k/(x+alpha^k) al prodotto di (1-alpha^k)/(1+alpha^k).

Prova che per qualsiasi numero naturale $n$ e numeri reali $\alpha$ e $x$ che soddisfi ${\alpha }^{n+1}\le x\le 1$ e $0<\alpha <1$ si ritiene che ${\prod }_{k=1}^n\left|\frac{x-{\alpha }^k}{x+{\alpha }^k}\right|\le {\prod }_{k=1}^n\frac{1-{\alpha }^k}{1+{\alpha }^k}.$

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n markers each labeled by an integer; if two share label k, redenote one k+1 and the other k-1; prove all become distinct after finitely many moves.

On a table are given $n$ markers, each of which is denoted by an integer. At any time, if some two markers are denoted with the same number, say $k$, we can redenote one of them with $k+1$ and the other one with $k-1$. Prove that after a finite number of moves all the markers will be denoted with different numbers.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

n marcatori ognuno etichettato da un numero intero; se due condividono l’etichetta k, rinominare uno k+1 e l’altro k-1; dimostrare che tutti diventano distinti dopo numerose mosse finite.

Su una tabella sono indicati i marcatori $n$, ognuno dei quali è indicato da un numero intero. In qualsiasi momento, se alcuni due marcatori sono indicati con lo stesso numero, diciamo $k$, possiamo rinominare uno di essi con $k+1$ e l’altro con $k-1$. Prova che dopo un numero finito di mosse tutti i marcatori saranno indicati con numeri diversi.

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Find all integer pairs (x,y) with x^3 + x^2 y + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1).

Determine all pairs of integers $(x,y)$ satisfying the equation $x^3+x^{2}y+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi (x,y) con x^3 + x^2 y + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1).

Determinare tutte le coppie di integri $(x,y)$ che soddisfano l’equazione $x^3+x^{2}y+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).$

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For a tetrahedron of volume V with S the sum of squares of its edge lengths, prove V <= Ssqrt(S)/(72sqrt(3)).

In a tetrahedron of volume $V$ the sum of the squares of the lengths of its edges equals $S$. Prove that $V\le \frac{S\sqrt{S}}{72\sqrt{3}}.$

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per un tetraedro di volume V con S la somma dei quadrati delle sue lunghezze di bordo, provare V <= Ssqrt(S)/(72sqrt(3)).

In un tetraedro di volume $V$ la somma dei quadrati delle lunghezze dei suoi bordi è uguale a $S$. Provare che $V\le \frac{S\sqrt{S}}{72\sqrt{3}}.$

src_pol_1981_r3__Q06