Olimpiade Matematica Polacca 1982 — Round 3

Maximize d_n - c_n for n girls and n boys around a round table

Find a way of arranging $n$ girls and $n$ boys around a round table for which $d_n-c_n$ is maximum, where $d_n$ is the number of girls sitting between two boys and $c_n$ is the number of boys sitting between two girls.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maximizzare il d_n - c_n per n ragazze e n ragazzi attorno a una tavola rotonda

Trovare un modo per organizzare le ragazze e i ragazzi su una tavola rotonda per la quale il massimo è $d_n-c_n$, dove $d_n$ è il numero di ragazze sedute tra due ragazzi e $c_n$ il numero di ragazzi seduti tra due ragazze.

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Cyclic quadrilateral: line through midpoint of AB and diagonal intersection perpendicular to CD

In a cyclic quadrilateral $ABCD$ the line passing through the midpoint of $AB$ and the intersection point of the diagonals is perpendicular to $CD$. Prove that either the sides $AB$ and $CD$ are parallel or the diagonals are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico: linea attraverso il punto medio di AB e intersezione diagonale perpendicolare al CD

In un quadrilaterale ciclico $ABCD$ la linea che attraversa il punto medio di $AB$ e il punto di intersezione dei diagonali è perpendicolare a $CD$. Prova che i lati $AB$ e $CD$ sono paralleli o che i diagonali sono perpendicolari.

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Find all positive pairs (x,y) satisfying x^2+y^2=a^2+b^2 and x^3+y^3=a^3+b^3

Find all pairs of positive numbers $(x,y)$ which satisfy the system of equations $x^2+y^2=a^2+b^2,$ $x^3+y^3=a^3+b^3,$ where $a$ and $b$ are given positive numbers.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie positive (x,y) che soddisfano x^2+y^2=a^2+b^2 e x^3+y^3=a^3+b^3

Trova tutte le coppie di numeri positivi $(x,y)$ che soddisfano il sistema di equazioni $x^2+y^2=a^2+b^2,$ $x^3+y^3=a^3+b^3,$ dove $a$ e $b$ sono dati numeri positivi.

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Cover finite plane point set by open squares with bounded points-per-area ratio

On a plane is given a finite set of points. Prove that the points can be covered by open squares $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ such that $1\le \frac{N_j}{S_j}\le 4\text{for }j=1,\dots ,n,$ where $N_j$ is the number of points from the set inside square $Q_j$ and $S_j$ is the area of $Q_j$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Coperire un punto di piano finito impostato da quadrati aperti con rapporto punti-per-area limitato

In un piano viene dato un insieme finito di punti. Prova che i punti possono essere coperti da quadrati aperti $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ in modo tale che $1\le \frac{N_j}{S_j}\le 4\text{for }j=1,\dots ,n,$, dove $N_j$ è il numero di punti del set all’interno del quadrato $Q_j$ e $S_j$ è l’area di $Q_j$.

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Cyclic integer sequence with sign condition: prove a difference of sums is divisible by 4

Integers $x_0,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n=x_0,x_{n+1}=x_1$ satisfy the inequality $(-1{)}^k{x}_{k-1}{x}_{k+1}>0$ for $k=1,2,\dots ,n$. Prove that the difference ${\sum }_{k=0}^{n-1}{x}_k-{\sum }_{k=0}^{n-1}|x_k|$ is divisible by $4$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi ciclica con condizione di segno: dimostrare che una differenza di somme è divisibile per 4

Gli integri $x_0,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n=x_0,x_{n+1}=x_1$ soddisfano la disuguaglianza $(-1{)}^k{x}_{k-1}{x}_{k+1}>0$ per $k=1,2,\dots ,n$. Prova che la differenza ${\sum }_{k=0}^{n-1}{x}_k-{\sum }_{k=0}^{n-1}|x_k|$ è divisibile per $4$.

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Sum of dihedral angles in an arbitrary tetrahedron exceeds 2pi

Prove that the sum of dihedral angles in an arbitrary tetrahedron is greater than $2\pi$.

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

La somma degli angoli diedrali in un tetraedro arbitrario è superiore a 2pi

Prova che la somma degli angoli diedrali in un tetraedro arbitrario è maggiore di $2\pi$.

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