Olimpiade Matematica Polacca 1983 — Round 3

Convex n-gon with interior point Q not on any diagonal; prove the number of triangles P_iP_jP_k containing Q is even when n is even.

On the plane are given a convex $n$-gon $P_1{P}_2\dots P_n$ and a point $Q$ inside it, not lying on any of its diagonals. Prove that if $n$ is even, then the number of triangles $P_i{P}_j{P}_k$ containing the point $Q$ is even.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Doppio conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Convex n-gon con punto interno Q non su alcuna diagonale; dimostrare che il numero di triangoli P_iP_jP_k contenenti Q è pari quando n è pari.

Sul piano sono indicati un convex $n$-gon $P_1{P}_2\dots P_n$ e un punto $Q$ all’interno, non situato su nessuna delle sue diagonali. Prova che se $n$ è pari, il numero di triangoli $P_i{P}_j{P}_k$ contenenti il punto $Q$ è pari.

src_pol_1983_r3__Q01

Given irrational a in (0,1) and positive integer N, find positive integers p,q,r,s with p/q < a < r/s, r/s - p/q < 1/N, and rq - ps = 1.

Let be given an irrational number $a$ in the interval $(0,1)$ and a positive integer $N$. Prove that there exist positive integers $p,q,r,s$ such that $\frac{p}{q}<a<\frac{r}{s},\frac{r}{s}-\frac{p}{q}<\frac{1}{N},\text{and}rq-ps=1.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dato un a irrazionale in (0,1) e un intero positivo N, trovare integri positivi p,q,r,s con p/q < a < r/s, r/s - p/q < 1/N, e rq - ps = 1.

Si deve dare un numero irrazionale $a$ nell’intervallo $(0,1)$ e un intero positivo $N$. Prova che esistono integri positivi $p,q,r,s$ in modo tale che $\frac{p}{q}<a<\frac{r}{s},\frac{r}{s}-\frac{p}{q}<\frac{1}{N},\text{and}rq-ps=1.$

src_pol_1983_r3__Q02

One-player pawn game on an infinite chessboard: two adjacent pawns are removed and one is placed on a third adjacent empty square; if the initial pawns fill a rectangle whose number of squares is divisible by 3, prove the game cannot end with one pawn left.

Consider the following one-player game on an infinite chessboard. If two horizontally or vertically adjacent squares are occupied by a pawn each, and a square on the same line that is adjacent to one of them is empty, then it is allowed to remove the two pawns and place a pawn on the third (empty) square. Prove that if in the initial position all the pawns were forming a rectangle with the number of squares divisible by 3, then it is not possible to end the game with only one pawn left on the board.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Colorazione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di pedoni da un giocatore su una scacchiera infinita: vengono rimossi due pedoni adiacenti e uno viene posto su un terzo quadrato vuoto adiacente; se i pedoni iniziali riempiono un rettangolo il cui numero di quadrati è divisibile per 3, dimostrare che il gioco non può finire con un pedone rimasto.

Considerate il seguente gioco da giocatore su una scacchiera infinita. Se due quadrati orizzontalmente o verticalmente adiacenti sono occupati da un pedone ciascuno, e un quadrato sulla stessa linea adiacente a uno di essi è vuoto, allora è consentito rimuovere i due pedoni e posizionare un pedone sul terzo quadrato (vuoto). Prova che se nella posizione iniziale tutti i pedoni formavano un rettangolo con il numero di quadrati divisibili per 3, allora non è possibile terminare la partita con solo un pedone rimasto sulla tavola.

src_pol_1983_r3__Q03

Prove that for natural numbers a,b,c,d with ab=cd, gcd(a,c)gcd(a,d)/gcd(a,b,c,d) = a.

Prove that if natural numbers $a,b,c,d$ satisfy the equality $ab=cd$, then $\frac{\gcd (a,c)\gcd (a,d)}{\gcd (a,b,c,d)}=a.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove che per i numeri naturali a,b,c,d con ab=cd, gcd(a,c) gcd(a,d)/gcd(a,b,c,d) = a.

Prova che se i numeri naturali $a,b,c,d$ soddisfano l’uguaglianza $ab=cd$, allora $\frac{\gcd (a,c)\gcd (a,d)}{\gcd (a,b,c,d)}=a.$

src_pol_1983_r3__Q04

Given three plane unit vectors a1,a2,a3, show one can choose c1,c2,c3 in {-1,1} so that the length of c1a1+c2a2+c3a3 is at least 2.*

On the plane are given unit vectors ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$. Show that one can choose numbers $c_1,c_2,c_3\in \{-1,1\}$ such that the length of the vector $c_1{\vec{a}}_1+c_2{\vec{a}}_2+c_3{\vec{a}}_3$ is at least $2$.

Topic: Disuguaglianze, Geometria analitica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Dati tre vettori di unità di piano a1,a2,a3, mostrare che si può scegliere c1,c2,c3 in {-1,1} in modo che la lunghezza di c1a1+c2a2+c3a3 sia almeno 2.*

Sul piano sono dati i vettori unitari ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$. Mostra che si possono scegliere numeri $c_1,c_2,c_3\in \{-1,1\}$ in modo che la lunghezza del vettore $c_1{\vec{a}}_1+c_2{\vec{a}}_2+c_3{\vec{a}}_3$ sia almeno $2$.

src_pol_1983_r3__Q05

Prove that if all dihedral angles of a tetrahedron are acute, then all its faces are acute-angled triangles.

Prove that if all dihedral angles of a tetrahedron are acute, then all its faces are acute-angled triangles.

Topic: Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che se tutti gli angoli diedrali di un tetraedro sono acuti, allora tutte le sue facce sono triangoli ad angolo acuto.

Prova che se tutti gli angoli diedrali di un tetraedro sono acuti, allora tutte le sue facce sono triangoli a angolo acuto.

src_pol_1983_r3__Q06