Olimpiade Matematica Polacca 1988 — Round 3

Real numbers summing to integer with bounded partial sums

The real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ from the interval $(0,1)$ satisfy the equality $x_1+x_2+\cdots +x_n=m+r$, where $m$ is an integer and $r\in [0,1)$. Prove that $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le m+r^2.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numeri reali sommati a un numero intero con somme parziali limitate

I numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n$ dell’intervallo $(0,1)$ soddisfano l’uguaglianza $x_1+x_2+\cdots +x_n=m+r$, dove $m$ è un intero e $r\in [0,1)$. Provare che $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le m+r^2.$

src_pol_1988_r3__Q01

Expected number of equiprobable permutation indices

For a permutation $\pi =(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ of $(1,2,\dots ,n)$ we define $X(\pi )$ to be the number of indices $j$ such that $p_i<p_j$ for all $i<j$. Find the expected value of $X(\pi )$ over all permutations $\pi$ of $(1,2,\dots ,n)$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero atteso di indici di permutazione equiparabili

Per una permutazione $\pi =(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ di $(1,2,\dots ,n)$ definiamo $X(\pi )$ come il numero di indici $j$ tale che $p_i<p_j$ per tutti $i<j$. Trova il valore atteso di $X(\pi )$ su tutte le permutazioni $\pi$ di $(1,2,\dots ,n)$.

src_pol_1988_r3__Q02

Polygon with center of symmetry contains parallelogram midpoints on boundary

A polygon $W$ has a center of symmetry $S$. Prove that there is a parallelogram $V$ containing $W$ such that the midpoint of each side of $V$ lies on the boundary of $W$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il poligono con centro di simmetria contiene punti di mezzo paralleliogrammi sul confine

Un poligono $W$ ha un centro di simmetria $S$. Dimostrare che esiste un parallelo $V$ contenente $W$ in modo tale che il punto medio di ciascun lato di $V$ sia situato sul confine di $W$.

src_pol_1988_r3__Q03

Continuous function on reals with period d satisfying functional equation

Let $d$ be a positive integer and let $f:[0,d]\to \mathbb{R}$ be a continuous function with $f(0)=f(d)$. Prove that there exists $c\in [0,d)$ such that $f(c)=f(c+1)$.

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione continua su reali con periodo d che soddisfa l’equazione funzionale

Che $d$ sia un intero positivo e che $f:[0,d]\to \mathbb{R}$ sia una funzione continua con $f(0)=f(d)$. Prova che esiste un $c\in [0,d)$ tale che $f(c)=f(c+1)$.

src_pol_1988_r3__Q04

Sequence defined by recurrence divisible by r for all n

The sequence $(a_n{)}_{n\ge 0}$ is defined by $a_1=a_2=1$ and $a_n=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n-2}$ for $n\ge 3$. Prove that for any positive integer $r$ there is a positive integer $s$ such that $a_s$ is divisible by $r$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Congruenze, Principio dei cassetti Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza definita da ricorrenza divisibile da r per tutte le n

La sequenza $(a_n{)}_{n\ge 0}$ è definita da $a_1=a_2=1$ e $a_n=a_{n-1}\cdot a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n-2}$ per $n\ge 3$. Prove che per ogni intero positivo $r$ esiste un intero positivo $s$ tale che $a_s$ sia divisibile da $r$.

src_pol_1988_r3__Q05

Largest volume tetrahedron inscribed in hemisphere of radius 1

Determine the largest possible volume of a tetrahedron that lies in the interior of a hemisphere of radius $1$.

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro di maggior volume inserito nell’emisfero del raggio 1

Determinare il più grande volume possibile di un tetraedro situato all’interno di un emisfero di raggio $1$.

src_pol_1988_r3__Q06