Olimpiade Matematica Polacca 1989 — Round 3

Even number of people at a round table change seats after lunch; show two persons are separated by the same number of persons as before.

An even number of people are participating in a round table conference. After lunch break the participants change seats. Show that some two persons are separated by the same number of persons as they were before break.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero pari di persone in una tavola rotonda che cambiano posto dopo pranzo; mostra che due persone sono separate dallo stesso numero di persone come prima.

Un numero pari di persone partecipa a una conferenza a tavola rotonda. Dopo la pausa pranzo i partecipanti cambiano posto. Mostrate che alcune due persone sono separate dallo stesso numero di persone che erano prima della pausa.

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Three pairwise tangent circles; through a chain of secant constructions prove three points are collinear.

Circles $K_1$, $K_2$, $K_3$ are given in the plane such that $K_2$ and $K_3$ are tangent at $P$, $K_3$ and $K_1$ at $Q$, and $K_1$ and $K_2$ at $R$. Lines $PQ$ and $PR$ cut $K_1$ again at $S$ and $T$ respectively. Lines $SR$ and $TQ$ cut $K_2$ and $K_3$ again at $U$ and $V$. Prove that points $P$, $U$, $V$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre cerchi tangenti in coppia; attraverso una catena di costruzioni secanti dimostrano che tre punti sono collineari.

I cerchi $K_1$, $K_2$, $K_3$ sono indicati nel piano in modo tale che $K_2$ e $K_3$ siano tangenti a $P$, $K_3$ e $K_1$ a $Q$, e $K_1$ e $K_2$ a $R$. Le linee $PQ$ e $PR$ si riducono rispettivamente a $S$ e $T$. Le linee $SR$ e $TQ$ sono tagliate $K_2$ e $K_3$ di nuovo a $U$ e $V$. Provare che i punti $P$, $U$, $V$ sono collineari.

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Edges of a cube numbered 1 through 12; prove at least eight index-increasing triples of consecutive edges exist, and exhibit a numbering with exactly eight.

The edges of a cube are numbered 1 through 12.

(a) Prove that for any such numbering there exist at least eight triples of integers $(i,j,k)$ with $1\le i<j<k\le 12$ such that the edges assigned numbers $i$, $j$, $k$ are consecutive segments of a polygonal line.

(b) Give an example of a numbering for which there are exactly eight such triples.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Le estremità di un cubo numerato da 1 a 12; dimostrare che esistono almeno otto triples di bordo consecutivi in aumento dell’indice, e mostrare una numerazione con esattamente otto.

I bordi di un cubo sono numerati da 1 a 12.

(a) dimostrare che per qualsiasi tale numerazione esistono almeno otto tripli di enti $(i,j,k)$ con $1\le i<j<k\le 12$ in modo tale che i bordi assegnati ai numeri $i$, $j$, $k$ siano segmenti consecutivi di una linea poligonale.

(b) Fornisci un esempio di una numerazione per la quale ci sono esattamente otto tripli.

src_pol_1989_r3__Q03

Random chain of subsets starting from an n-set, each a uniformly random subset of the previous; show the expected cardinality of A_k is n/2^k.

Let be given positive integers $n$ and $k$. Consider a chain of sets $A_0,A_1,\dots ,A_k$ in which $A_0=\{1,\dots ,n\}$, and for each $i$, $A_i$ is a randomly chosen subset of $A_{i-1}$ (all choices are equiprobable). Show that the expected cardinality of $A_k$ is $n/2^k$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Catena casuale di sottoinsiemi a partire da un n-set, ciascuno un sottoinsieme uniformemente casuale del precedente; mostrare la cardinalità attesa di A_k è n/2^k.

Si devono dare integri positivi $n$ e $k$. Si consideri una catena di set $A_0,A_1,\dots ,A_k$ in cui $A_0=\{1,\dots ,n\}$, e per ciascuna $i$, $A_i$ è un sottoinsieme scelto a caso di $A_{i-1}$ (tutte le scelte sono equiprobabili). Indicare che la cardinalità attesa di $A_k$ è $n/2^k$.

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Three pairwise tangent equal circles of radius a on a hemisphere of radius r; compute the radius of a fourth circle on the same sphere tangent to all three.

The pairwise equal circles of radius $a$ lie on a hemisphere of radius $r$. Compute the radius of a fourth circle on the same sphere which is tangent to the three given circles.

Topic: Geometria solida Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre cerchi pari di taglia pari di raggio a su un emisfero di raggio r; calcolare il raggio di un quarto cerchio sulla stessa sfera tangente a tutti e tre.

I cerchi pari di raggio $a$ si trovano su un emisfero di raggio $r$. Calcolare il raggio di un quarto cerchio sulla stessa sfera che è tangente ai tre cerchi dati.

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For positive reals a,b,c,d prove the square root of the average of pairwise products is at least the cube root of the average of triple products.

Let $a$, $b$, $c$, $d$ be positive numbers. Prove the inequality $\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\ge \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i reali positivi a,b,c,d dimostrare che la radice quadrata della media dei prodotti in coppia è almeno la radice cubica della media dei prodotti tripla.

Che $a$, $b$, $c$, $d$ siano numeri positivi. Provare la disuguaglianza $\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\ge \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}.$

src_pol_1989_r3__Q06