Olimpiade Matematica Polacca 1990 — Round 3

Find all functions f:R->R satisfying a given functional equation.

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ that satisfy $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le funzioni f:R->R che soddisfano una determinata equazione funzionale.

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che soddisfano $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2).$

src_pol_1990_r3__Q01

Prove a cyclic sum of fractions in positive numbers is at most n-1.

Let $x_1,x_2,\dots ,x_n$ be positive numbers. Prove that $\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2{x}_3}+\frac{x_2^2}{x_2^2+x_3{x}_4}+\cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_n{x}_1}+\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1{x}_2}\le n-1.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che la somma ciclica delle frazioni in numeri positivi è al massimo n-1.

Lasciate che $x_1,x_2,\dots ,x_n$ siano numeri positivi. Provare che $\frac{x_1^2}{x_1^2+x_2{x}_3}+\frac{x_2^2}{x_2^2+x_3{x}_4}+\cdots +\frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2+x_n{x}_1}+\frac{x_n^2}{x_n^2+x_1{x}_2}\le n-1.$

src_pol_1990_r3__Q02

In a round-robin tournament of n players, prove one of two structural conclusions about the results.

On a tournament, any two of the $n$ players played exactly one match (no draws). Prove that it is possible either

(i) to partition the league in two groups $A$ and $B$ such that everybody in $A$ defeated everybody in $B$; or

(ii) to arrange all the players in a chain $x_1,x_2,\dots ,x_n,x_1$ in such a way that each player defeated his successor.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Casework, Estremalità Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In un torneo di round-robin di n giocatori, provare una delle due conclusioni strutturali sui risultati.

In un torneo, due dei giocatori $n$ hanno giocato esattamente una partita (senza pareggio). Prove che sia possibile

(i) dividere la lega in due gruppi $A$ e $B$ in modo che tutti in $A$ sconfiggano tutti in $B$; o

(ii) organizzare tutti i giocatori in una catena $x_1,x_2,\dots ,x_n,x_1$ in modo tale che ciascuno dei giocatori sconfigga il suo successore.

src_pol_1990_r3__Q03

A triangle with all sides at least 1 is inscribed in a unit square; prove the square’s center lies inside or on the triangle.

A triangle whose all sides have length not smaller than 1 is inscribed in a square of side length 1. Prove that the center of the square lies inside the triangle or on its boundary.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un triangolo con tutti i lati almeno 1 è inscritto in un quadrato unitario; dimostrare che il centro del quadrato si trova all’interno o sul triangolo.

Un triangolo il cui lunghezza non è inferiore a 1 è inciso in un quadrato di lunghezza laterale 1. Prova che il centro del quadrato si trova all’interno del triangolo o al suo confine.

src_pol_1990_r3__Q04

For a sequence of positive integers with n/a_n -> 0, prove existence of k with at least 1990 perfect squares between consecutive partial sums.

Suppose that $(a_n)$ is a sequence of positive integers such that ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{a_n}=0$. Prove that there exists $k$ such that there are at least 1990 perfect squares between $a_1+a_2+\cdots +a_k$ and $a_1+a_2+\cdots +a_{k+1}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per una sequenza di interi positivi con n/a_n -> 0, dimostrare l’esistenza di k con almeno 1990 quadrati perfetti tra somme parziali consecutive.

Supponiamo che $(a_n)$ sia una sequenza di integri positivi come ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{a_n}=0$. Dimostrare l’esistenza di $k$ in modo tale che ci siano almeno 1990 quadrati perfetti tra $a_1+a_2+\cdots +a_k$ e $a_1+a_2+\cdots +a_{k+1}$.

src_pol_1990_r3__Q05

Prove divisibility by 3 of an alternating sum of binomial coefficients for integers n>2.

Prove that for all integers $n>2$, ${\sum }_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3k})$ is divisible by 3.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove la divisibilità per 3 di una somma alternata di coefficienti binomiali per numeri interi n>2.

Prova che per tutti gli integri $n>2$, ${\sum }_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3k})$ è divisibile per 3.

src_pol_1990_r3__Q06