Olimpiade Matematica Polacca 1991 — Round 3

Compare volumes and face areas of two tetrahedra

Prove or disprove that there exist two tetrahedra $T_1$ and $T_2$ such that: (i) the volume of $T_1$ is greater than that of $T_2$, (ii) the area of any face of $T_1$ does not exceed the area of any face of $T_2$.

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Compare i volumi e le superfici di superficie di due tetraedri

dimostrare o respingere l’esistenza di due tetraedri $T_1$ e $T_2$ in modo tale che: (i) il volume di $T_1$ sia maggiore di quello di $T_2$, (ii) l’area di una faccia di $T_1$ non superi l’area di una faccia di $T_2$.

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Count lattice paths between two points on x-axis

Let $X$ be the set of all lattice points in the plane (points $(x,y)$ with $x,y\in \mathbb{Z}$). A path $\{p_1,p_2,\dots ,p_k\}$ of points of $X$ is a chain $(p_1,p_2,\dots ,p_k)$ such that $|p_{i+1}-p_i|=1$ for $i=1,\dots ,k-1$. Let $F(n)$ be the number of distinct paths of $n$ steps beginning at a point $P_0$ on line $y=0$ and ending at any point $P_n$ on line $y=0$. Prove that $F(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Induzione, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i percorsi della reticola tra due punti sull’asse x

$X$ sia l’insieme di tutti i punti della griglia del piano (punti $(x,y)$ con $x,y\in \mathbb{Z}$). Un percorso $\{p_1,p_2,\dots ,p_k\}$ di punti di $X$ è una catena $(p_1,p_2,\dots ,p_k)$ tale da $|p_{i+1}-p_i|=1$ per $i=1,\dots ,k-1$. $F(n)$ è il numero di percorsi distinti dei passi $n$ che iniziano a un punto $P_0$ della linea $y=0$ e terminano a un punto $P_n$ della linea $y=0$. Prove che $F(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$.

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Show N is not a fifth power of an integer

Define $N={\sum }_{k=1}^n{a}_k{6}^k,$ where $a_k\in [-1,1]$ for each $k$. Prove that $N$ cannot be the fifth power of an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra N non è una quinta potenza di un intero

Definire $N={\sum }_{k=1}^n{a}_k{6}^k,$ dove $a_k\in [-1,1]$ per ogni $k$. Prova che $N$ non può essere la quinta potenza di un intero.

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Characterize functions on vectors with given norm and inner product conditions

On the Cartesian plane consider the set $V$ of all vectors with integer coordinates. Determine all functions $f:V\to \mathbb{R}$ satisfying the conditions: (i) $f(v)=1$ for each of the four vectors $v$ of unit length, (ii) $f(u+v)=f(u)+f(v)$ for every two perpendicular vectors $u,v\in V$. (Note that the zero vector is perpendicular to every vector.)

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Caracterizzare le funzioni su vettori con determinate norme e condizioni di prodotto interno

Nel piano cartesiano si considera l’insieme $V$ di tutti i vettori con coordinate interi. Determinare tutte le funzioni $f:V\to \mathbb{R}$ che soddisfano le condizioni: (i) $f(v)=1$ per ciascuno dei quattro vettori $v$ di lunghezza unitaria, (ii) $f(u+v)=f(u)+f(v)$ per ogni due vettori perpendicolari $u,v\in V$. (Nota che il vettore zero è perpendicolare a ogni vettore.)

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Diameter of k_1 has endpoints on lines PA and PB

Two noncongruent circles $k_1$ and $k_2$ are exterior to each other. Their common external tangents intersect the line through their centers at points $A$ and $B$. Let $P$ be any point on $k_1$. Prove that there is a diameter of $k_1$ with one endpoint on line $PA$ and the other endpoint on line $PB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il diametro di k_1 ha punti terminali sulle linee PA e PB

Due cerchi non congruenti $k_1$ e $k_2$ sono esterni l’uno all’altro. Le loro tangenti esterne comuni intersecano la linea attraverso i loro centri nei punti $A$ e $B$. Il punto $P$ deve essere qualsiasi punto di $k_1$. Prova che esiste un diametro di $k_1$ con un punto di fine sulla linea $PA$ e l’altro punto di fine sulla linea $PB$.

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Prove inequality for reals with sum of squares equal to 2

If $x,y,z$ are real numbers satisfying $x^2+y^2+z^2=2$, prove the inequality $x+y+z\le 2+xyz,$ and find the conditions for equality.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza per i reali con la somma dei quadrati uguale a 2

Se $x,y,z$ sono numeri reali che soddisfano $x^2+y^2+z^2=2$, dimostrare la disuguaglianza $x+y+z\le 2+xyz,$ e trovare le condizioni per la parità.

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