Olimpiade Matematica Polacca 1992 — Round 3

Circumcenter of PAB, prove OP perpendicular to CD

Segments $AC$ and $BD$ intersect at $P$ so that $PA=PD$ and $PB=PC$. If $O$ is the circumcenter of triangle $PAB$, prove that $OP$ is perpendicular to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcentro di PAB, prova OP perpendicolare a CD

I segmenti $AC$ e $BD$ si incrociano a $P$ in modo che $PA=PD$ e $PB=PC$. Se $O$ è il centro circoncentrale del triangolo $PAB$, dimostrare che $OP$ è perpendicolare a $CD$.

src_pol_1992_r3__Q01

Find all functions on rationals with two functional equations

Find all functions $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ such that for all $x\in {\mathbb{Q}}^{+}$, $f(x+1)=f(x)+1\text{and}f(x^3)=f(x{)}^3.$

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni sui razionali con due equazioni funzionali

Trova tutte le funzioni $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ in modo che per tutte $x\in {\mathbb{Q}}^{+}$, $f(x+1)=f(x)+1\text{and}f(x^3)=f(x{)}^3.$

src_pol_1992_r3__Q02

Prove double sum of a_m a_n/(m+n) is nonneg

If $a_1,a_2,\dots ,a_r$ are arbitrary real numbers, prove the inequality ${\sum }_{n=1}^r{\sum }_{m=1}^r\frac{a_m{a}_n}{m+n}\ge 0.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che la doppia somma di a_m a_n/(m+n) non è negativa

Se $a_1,a_2,\dots ,a_r$ sono numeri reali arbitrari, dimostrare la disuguaglianza ${\sum }_{n=1}^r{\sum }_{m=1}^r\frac{a_m{a}_n}{m+n}\ge 0.$

src_pol_1992_r3__Q03

Solve f_n(x)=2x for recursive square-root sequence

The sequence of functions $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is defined by $f_0(x)=8$ and $f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)}\text{for all }x.$ For every integer $n\ge 0$, solve the equation $f_n(x)=2x$.

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi f_n(x)=2x per la sequenza di radice quadrata ricorsiva

La sequenza di funzioni $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è definita da $f_0(x)=8$ e $f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)}\text{for all }x.$ Per ogni intero $n\ge 0$, risolvere l’equazione $f_n(x)=2x$.

src_pol_1992_r3__Q04

Equal sums of odd/even lateral edge segments on regular 2n-gon pyramid

The base of a regular pyramid is a regular $2n$-gon $A_1{A}_2\dots A_{2n}$. A sphere passing through the top vertex $S$ intersects the lateral edge $S{A}_i$ at $B_i$ for $i=1,2,\dots ,2n$. Prove that ${\sum }_{i=1}^{n}S{B}_{2i-1}={\sum }_{i=1}^{n}S{B}_{2i}$.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Summe uguali di segmenti di bordi laterali pari/pari su piramide regolare a 2 n-gon

La base di una piramide regolare è un $2n$-gon $A_1{A}_2\dots A_{2n}$ regolare. Una sfera che passa attraverso la vertica superiore $S$ incrocia il bordo laterale $S{A}_i$ a $B_i$ per $i=1,2,\dots ,2n$. Prove che ${\sum }_{i=1}^{n}S{B}_{2i-1}={\sum }_{i=1}^{n}S{B}_{2i}$.

src_pol_1992_r3__Q05

Prove (k^3)! divisible by (k!)^(k^2+k+1)

Prove that for each positive integer $k$, $(k^3)!$ is divisible by $(k!{)}^{k^2+k+1}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prova (k^3)! divisibile da (k!)^(k

Prove che per ogni intero positivo $k$, $(k^3)!$ è divisibile da $(k!{)}^{k^2+k+1}$.

src_pol_1992_r3__Q06