Olimpiade Matematica Polacca 1993 — Round 1

Solve an equation with absolute values and the sign function in reals.

Solve the following equation in real numbers: $\frac{(x^2-1)(|x|+1)}{x+\mathrm{sgn}x}=[x+1].$

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un’equazione con valori assoluti e la funzione del segno in reales.

Risolvere la seguente equazione in numeri reali: $\frac{(x^2-1)(|x|+1)}{x+\mathrm{sgn}x}=[x+1].$

src_pol_1993_r1__Q01

Solve a cyclic system of n equations involving tangent and cotangent.

Let $n\ge 3$ be integer. Solve the system of equations: $\begin{array}{rl}\tan x_1+3\cot x_1& =2\tan x_2,\\ \tan x_2+3\cot x_2& =2\tan x_3,\\ & ⋮\\ \tan x_n+3\cot x_n& =2\tan x_1.\end{array}$

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un sistema ciclico di n equazioni che coinvolgono tangente e cotangente.

$n\ge 3$ sia un numero intero. Risolvere il sistema di equazioni: $\begin{array}{rl}\tan x_1+3\cot x_1& =2\tan x_2,\\ \tan x_2+3\cot x_2& =2\tan x_3,\\ & ⋮\\ \tan x_n+3\cot x_n& =2\tan x_1.\end{array}$

src_pol_1993_r1__Q02

Prove a product relation for a centrally symmetric hexagon from intersection points of its side lines.

Let $ABCDEF$ be a centrally symmetric hexagon. The lines $AB$ and $EF$ meet at $A^{\prime }$, the lines $BC$ and $AF$ meet at $B^{\prime }$, and the lines $AB$ and $CD$ meet at $C^{\prime }$. Prove that $AB\cdot BC\cdot CD=A{A}^{\prime }\cdot B{B}^{\prime }\cdot C{C}^{\prime }.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove un rapporto di prodotto per un esagono centricamente simmetrico dai punti di intersezione delle sue linee laterali.

Che il $ABCDEF$ sia un esagono centralmente simmetrico. Le linee $AB$ e $EF$ si incontrano a $A^{\prime }$, le linee $BC$ e $AF$ si incontrano a $B^{\prime }$, e le linee $AB$ e $CD$ si incontrano a $C^{\prime }$. Provare che $AB\cdot BC\cdot CD=A{A}^{\prime }\cdot B{B}^{\prime }\cdot C{C}^{\prime }.$

src_pol_1993_r1__Q03

Find all functions satisfying a given functional equation.

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that for all real $x,y$, $f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y).$

Topic: Equazioni funzionali Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni che soddisfano una determinata equazione funzionale.

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in modo che per tutte le $x,y$ reali, $f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y).$

src_pol_1993_r1__Q04

Prove that a line determined by two squares built on a triangle passes through a fixed point.

Let $A$ and $C$ be distinct points in the plane. For every point $B$ one constructs squares $ABKL$ and $BCMN$ outside the triangle $ABC$. Prove that the lines $LM$ pass through a fixed point as $B$ varies in the same halfplane determined by $AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che una linea determinata da due quadrati costruiti su un triangolo passa attraverso un punto fisso.

Si deve considerare che $A$ e $C$ siano punti distinti nel piano. Per ogni punto $B$ si costruiscono quadrati $ABKL$ e $BCMN$ al di fuori del triangolo $ABC$. Prove che le linee $LM$ passano attraverso un punto fisso in quanto $B$ varia nello stesso semiplano determinato da $AC$.

src_pol_1993_r1__Q05

Given a sequence defined by a running-average recurrence, evaluate a weighted sum.

The sequence $(x_n)$ is defined by $x_0=1992$ and $x_n=-\frac{1992}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{x}_k$ for each $n\ge 1$. Calculate $\sum _{n=0}^{1992}{2}^n{x}_n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Data una sequenza definita da una ricorrenza media in esecuzione, valutare una somma ponderata.

La sequenza $(x_n)$ è definita da $x_0=1992$ e $x_n=-\frac{1992}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{x}_k$ per ciascuna $n\ge 1$. Calcolare $\sum _{n=0}^{1992}{2}^n{x}_n$.

src_pol_1993_r1__Q06

Find the volume of the convex hull of points defined by vector equalities in space.

Consider the points $A_0(0,0,0)$, $A_1(1,0,0)$, $A_2(0,1,0)$ and $A_3(0,0,1)$ in space. Let the point $P_{ij}$ ($i,j=0,1,2,3$) be defined by $\overrightarrow{A_0{P}_{ij}}=\overrightarrow{A_i{A}_j}$. Find the volume of the convex hull of points $P_{ij}$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il volume dello scafo convexo dei punti definiti dalle equazioni vettoriali nello spazio.

Considerare i punti $A_0(0,0,0)$, $A_1(1,0,0)$, $A_2(0,1,0)$ e $A_3(0,0,1)$ nello spazio. Il punto $P_{ij}$ ($i,j=0,1,2,3$) deve essere definito da $\overrightarrow{A_0{P}_{ij}}=\overrightarrow{A_i{A}_j}$. Trovare il volume della cassa convexa dei punti $P_{ij}$.

src_pol_1993_r1__Q07

Maximize the sum of nine natural numbers subject to a bound on the sum of their fifth powers.

Given a positive integer $n$, determine the maximum possible value of the sum of natural numbers $k_1,k_2,\dots ,k_9$ satisfying $k_1^5+k_2^5+\cdots +k_9^5\le 7n.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Massimizzare la somma di nove numeri naturali soggetti a un limite sulla somma delle loro quinte potenze.

Date un numero intero positivo $n$, determinare il valore massimo possibile della somma dei numeri naturali $k_1,k_2,\dots ,k_9$ che soddisfano $k_1^5+k_2^5+\cdots +k_9^5\le 7n.$

src_pol_1993_r1__Q08

Prove an inequality for three real numbers.

Let $a,b,c$ be real numbers. Prove the inequality $(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)\le (a+b-c{)}^2(b+c-a{)}^2(c+a-b{)}^2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra una disuguaglianza per tre numeri reali.

Lasciate che $a,b,c$ siano numeri reali. Provare la disuguaglianza $(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)\le (a+b-c{)}^2(b+c-a{)}^2(c+a-b{)}^2.$

src_pol_1993_r1__Q09

Prove that a distance-non-increasing surjection of a cube onto itself is an isometry.

Let $\mathcal{C}$ be a cube and let $f:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ be a surjection such that $|PQ|\ge |f(P)f(Q)|$ for all $P,Q\in \mathcal{C}$. Prove that $f$ is an isometry.

Topic: Geometria solida, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dimostrare che un’isometria è una suriezione non in aumento di distanza di un cubo su se stesso.

Che $\mathcal{C}$ sia un cubo e che $f:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ sia una suriezione tale che $|PQ|\ge |f(P)f(Q)|$ per tutti $P,Q\in \mathcal{C}$. Provare che $f$ è un’isometria.

src_pol_1993_r1__Q10

Find the limit of n times the probability that two of six randomly placed pawns share a row or column.

Six pawns are randomly placed on an $n\times n$ chessboard. Let $p_n$ be the probability that at least two of the pawns lie in the same row or column. Find $\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova il limite di n volte la probabilità che due dei sei pedoni posizionati in modo casuale condividano una riga o una colonna.

Sei pedoni vengono posizionati a caso su una scacchiera $n\times n$. La probabilità che almeno due dei pedoni si trovino nella stessa riga o colonna è $p_n$. Trova $\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n$.

src_pol_1993_r1__Q11

Characterize when x^n+4 factors into two non-constant integer-coefficient polynomials.

Prove that the polynomial $x^n+4$ is expressible as the product of two non-constant polynomials with integer coefficients if and only if $4\mid n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Caricare quando x^n+4 fattori in due polinomi non costanti di coefficienti interi.

Prove che il polinomio $x^n+4$ è espressibile come il prodotto di due polinomi non costanti con coefficienti interi se e solo se $4\mid n$.

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