Olimpiade Matematica Polacca 1993 — Round 2

Prove an inequality for positive reals x,y,u,v.

If $x,y,u,v$ are positive real numbers, prove the inequality $\frac{xu+xv+yu+yv}{x+y+u+v}\ge \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Demontrare una disuguaglianza per i reali positivi x,y,u,v.

Se $x,y,u,v$ sono numeri reali positivi, dimostrare la disuguaglianza $\frac{xu+xv+yu+yv}{x+y+u+v}\ge \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}.$

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A line through external point P meets a circle at A,B; C is symmetric to A wrt OP; prove all lines m=BC share a common point.

Let be given a circle with center $O$ and a point $P$ outside the circle. A line $l$ passes through $P$ and cuts the circle at $A$ and $B$. Let $C$ be the point symmetric to $A$ with respect to $OP$, and let $m$ be the line $BC$. Prove that all lines $m$ have a common point as $l$ varies.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Una linea attraverso un punto esterno P incontra un cerchio a A,B; C è simmetrica a A wrt OP; dimostra che tutte le linee m=BC condividono un punto comune.

Si deve dare un cerchio con il centro $O$ e un punto $P$ al di fuori del cerchio. Una linea $l$ passa attraverso $P$ e taglia il cerchio a $A$ e $B$. $C$ sia il punto simmetrico di $A$ rispetto a $OP$, e $m$ sia la linea $BC$. Prova che tutte le righe $m$ hanno un punto comune in quanto $l$ varia.

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Tetrahedron with three parallel cross-section planes; prove V1+V2+V3 >= 3V.

A tetrahedron $O{A}_1{B}_1{C}_1$ is given. Let $A_2,A_3\in O{A}_1$, $A_2,A_3\in O{A}_1$, $A_2,A_3\in O{A}_1$ be points such that the planes $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$ and $A_3{B}_3{C}_3$ are parallel and $O{A}_1>O{A}_2>O{A}_3>0$. Let $V_i$ be the volume of the tetrahedron $O{A}_i{B}_i{C}_i$ ($i=1,2,3$) and $V$ be the volume of $O{A}_1{B}_2{C}_3$. Prove that $V_1+V_2+V_3\ge 3V$.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tetraedro con tre piani di sezione incrociata parallele; prova V1+V2+V3 >= 3V.

Si dà un tetraedro $O{A}_1{B}_1{C}_1$. I punti $A_2,A_3\in O{A}_1$, $A_2,A_3\in O{A}_1$, $A_2,A_3\in O{A}_1$ siano punti tali che i piani $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$ e $A_3{B}_3{C}_3$ siano paralleli e $O{A}_1>O{A}_2>O{A}_3>0$. $V_i$ sia il volume del tetraedro $O{A}_i{B}_i{C}_i$ ($i=1,2,3$) e $V$ sia il volume di $O{A}_1{B}_2{C}_3$. Prove che $V_1+V_2+V_3\ge 3V$.

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Sequence of positive integers with x1=1 and bounded growth; show every positive integer k is a difference of two terms.

Let $(x_n)$ be the sequence of positive integers such that $x_1=1$ and $x_n<x_{n+1}\le 2n$ for each $n\in \mathbb{N}$. Show that for every positive integer $k$ there exist indices $r,s$ such that $x_r-x_s=k$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi positivi con x1=1 e crescita limitata; mostrare che ogni intero positivo k è una differenza di due termini.

$(x_n)$ sia la sequenza di integri positivi come $x_1=1$ e $x_n<x_{n+1}\le 2n$ per ciascuna $n\in \mathbb{N}$. Indicare che per ogni intero positivo $k$ esistono indici $r,s$ tali da $x_r-x_s=k$.

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Points D,E,F on sides of triangle ABC give three corner triangles with equal inradii r1; prove r1+r2=r where r2,r are inradii of DEF and ABC.

Let $D,E,F$ be points on the sides $BC,CA,AB$ of a triangle $ABC$, respectively. Suppose that the inradii of the triangles $AEF,BFD,CDE$ are all equal to $r_1$. If $r_2$ and $r$ are the inradii of triangles $DEF$ and $ABC$ respectively, prove that $r_1+r_2=r$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I punti D,E,F sui lati del triangolo ABC danno tre triangoli angolari con radii uguali a r1; dimostrare r1+r2=r dove r2,r sono radii di DEF e ABC.

$D,E,F$ siano punti sui lati $BC,CA,AB$ di un triangolo $ABC$, rispettivamente. Supponiamo che le inradii dei triangoli $AEF,BFD,CDE$ siano tutte uguali a $r_1$. Se $r_2$ e $r$ sono rispettivamente gli inradii dei triangoli $DEF$ e $ABC$, dimostrare che $r_1+r_2=r$.

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Continuous f with f(1000)=999 and f(x)f(f(x))=1 for all real x; determine f(500).

A continuous function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfies the conditions $f(1000)=999$ and $f(x)f(f(x))=1$ for all real $x$. Determine $f(500)$.

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Estremalità Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Continuo f con f(1000) =999 e f(x) f(f(x)) =1 per tutti gli x reali; determinare f(500).

Una funzione continua $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ soddisfa le condizioni $f(1000)=999$ e $f(x)f(f(x))=1$ per tutte le $x$ reali. Determinare $f(500)$.

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