Olimpiade Matematica Polacca 1993 — Round 3

Find all rational solutions to a symmetric system in five unknowns.

Find all rational solutions $x,y,z,t,w$ to the following system: $2xy=t^2-w^2+z^2,$ $2xz=t^2-y^2+w^2,$ $2yz=t^2-w^2+x^2.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le soluzioni razionali a un sistema simmetrico in cinque sconosciuti.

Trova tutte le soluzioni razionali $x,y,z,t,w$ al seguente sistema: $2xy=t^2-w^2+z^2,$ $2xz=t^2-y^2+w^2,$ $2yz=t^2-w^2+x^2.$

src_pol_1993_r3__Q01

Inscribed circle in a trapezoid; prove DE=FC iff AB=2CD.

A circle $k$ with center $O$ is inscribed in a nonisosceles trapezoid $ABCD$ with the longer base $AB$. Let $M$ be the midpoint of $AB$. The line $CD$ touches $k$ at point $E$ and intersects the line $OM$ at point $F$. Prove that $DE=FC$ if and only if $AB=2CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo inscritto in un trapezoide; prova DE=FC se AB=2CD.

Un cerchio $k$ con centro $O$ è inserito in un trapezoide non-isosceles $ABCD$ con base più lunga $AB$. $M$ sia il punto medio di $AB$. La linea $CD$ tocca $k$ al punto $E$ e interseca la linea $OM$ al punto $F$. Prove che $DE=FC$ se e solo se $AB=2CD$.

src_pol_1993_r3__Q02

Sequence via greatest-odd-divisor map; show 800 appears once and find when.

Let $g(k)$ denote the greatest odd divisor of a positive integer $k$. We set $f(k)=\{\begin{array}{ll}k/2+k/g(k)& \text{for }k\text{ even;}\\ 2^{(k+1)/2}& \text{for }k\text{ odd.}\end{array}$ and define the sequence $x_n$ by $x_1=1$ and $x_{n+1}=f(x_n)$ for $n\in \mathbb{N}$. Show that the number $800$ appears in the sequence exactly once, and determine $n$ for which $x_n=800$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza tramite mappa di divisione più probabile; mostra 800 appare una volta e trova quando.

Indichiamo $g(k)$ il più grande divisore odd di un intero positivo $k$. Abbiamo impostato $f(k)=\{\begin{array}{ll}k/2+k/g(k)& \text{for }k\text{ even;}\\ 2^{(k+1)/2}& \text{for }k\text{ odd.}\end{array}$ e definito la sequenza $x_n$ da $x_1=1$ e $x_{n+1}=f(x_n)$ per $n\in \mathbb{N}$. Indicare che il numero $800$ appare nella sequenza esattamente una volta e determinare per quale $n$ $x_n=800$.

src_pol_1993_r3__Q03

Triangular-faced convex polyhedron, 3-colored vertices; prove rainbow face count is even.

Let be given a convex polyhedron whose all faces are triangular. The vertices of the polyhedron are colored using three colors. Prove that the number of faces with vertices in all the three colors is even.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Colorazione, Doppio conteggio, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Polyedro converso a faccia triangolare, vertici a 3 colori; dimostrare che il numero delle facce dell’arcobaleno è pari.

Si deve dare un poliedro convexo le cui facce sono tutte triangolari. I vertici del poliedro sono colorati utilizzando tre colori. Prova che il numero di volti con vertici in tutti e tre i colori è pari.

src_pol_1993_r3__Q04

Find all real functions satisfying three functional equations.

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfying the following conditions: $f(-x)=-f(x)\text{and}f(x+1)=f(x)+1\text{for }x\in \mathbb{R};$ $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^2}\text{for }x\ne 0.$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano tre equazioni funzionali.

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che soddisfano le seguenti condizioni: $f(-x)=-f(x)\text{and}f(x+1)=f(x)+1\text{for }x\in \mathbb{R};$ $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^2}\text{for }x\ne 0.$

src_pol_1993_r3__Q05

Determine tetrahedron volume from face areas and circumradius.

Find out whether it is possible to determine the volume of a tetrahedron knowing the areas of its faces and its circumradius.

Topic: Geometria solida Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Determine il volume del tetraedro dalle aree del viso e dal circondario.

Scopri se è possibile determinare il volume di un tetraedro conoscendo le aree delle sue facce e il suo circondario.

src_pol_1993_r3__Q06