Olimpiade Matematica Polacca 1994 — Round 1

No integers a,b,c,d (not all 0) with a^2-b=c^2 and b^2-a=d^2

Prove that there are no integers $a,b,c,d$, not all equal to 0, such that $a^2-b=c^2$ and $b^2-a=d^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Non ci sono interi a, b, c, d (non tutti 0) con a^2 b=c^2 e b^2 a=d^2

Prova che non esistono numeri interi $a,b,c,d$, non tutti uguali a 0, come $a^2-b=c^2$ e $b^2-a=d^2$.

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Iterated absolute-value functions f_{n+1}=|f_n-2|, f_0=|x|; solve f_n(x)=1

The sequence of functions $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is given by $f_0(x)=|x|$ and, for each $n$, $f_{n+1}(x)=|f_n(x)-2|\text{for all }x.$ Solve the equation $f_n(x)=1$, where $n$ is a given positive integer.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Induzione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Le funzioni di valore assoluto <iterate f_{n+1}=li_f_n-2 khi, f_0=li_x khi; risolvere f_n(x)=1*

La sequenza delle funzioni $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è data da $f_0(x)=|x|$ e, per ogni $n$, $f_{n+1}(x)=|f_n(x)-2|\text{for all }x.$ Risolvi l’equazione $f_n(x)=1$, dove $n$ è un dato intero positivo.

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Inequality on reciprocals of triangle sides

Prove that if $a,b,c$ are sides of a triangle, then $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza sulle reciprocità dei lati del triangolo

Prova che se $a,b,c$ sono lati di un triangolo, allora $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}.$

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Point A inside circle, chord PQ through A, tangents and perpendicular line; prove AK=AL

Let be given a point $A$ inside a circle with center $O$, and a chord $PQ$ through $A$ which is not a diameter. Let $p,q$ be the tangents to the circle at $P,Q$, respectively. The line $l$ through $A$ perpendicular to $OA$ intersects $p$ and $q$ at $K$ and $L$ respectively. Prove that $AK=AL$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto A all’interno del cerchio, accordo PQ attraverso A, tangenti e linea perpendicolare; dimostrare AK=AL

Si deve dare un punto $A$ all’interno di un cerchio con il centro $O$ e un accordo $PQ$ attraverso $A$ che non è diametro. $p,q$ siano rispettivamente le tangenti del cerchio a $P,Q$. La linea $l$ attraverso $A$ perpendicolare a $OA$ si interseca rispettivamente a $p$ e $q$ a $K$ e $L$. Prove che $AK=AL$.

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If a cubic has three distinct real roots, a related cubic does too

Prove that if the polynomial $x^3+a{x}^2+bx+c$ has three distinct real roots, then so does the polynomial $x^3+a{x}^2+\frac{1}{4}(a^2+b)x+\frac{1}{8}(ab-c).$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Se un cubo ha tre radici reali distinte, un cubo correlato lo fa anche*

Dimostra che se il polinomio $x^3+a{x}^2+bx+c$ ha tre radici reali distinte, allora lo fa anche il polinomio $x^3+a{x}^2+\frac{1}{4}(a^2+b)x+\frac{1}{8}(ab-c).$

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Continuous f with some iterate equal to 1 for every x; show f(1)=1

Suppose that $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is a continuous function such that for every real $x$ there exists $n\in \mathbb{N}$ such that $\underset{n}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}(x)=1.$ Show that $f(1)=1$.

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Backward, Invarianti Abilita: Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Continuous f con qualche iterate uguale a 1 per ogni x; mostrare f(1)=1

Supponiamo che $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sia una funzione continua tale che per ogni reale $x$ esista $n\in \mathbb{N}$ tale che $\underset{n}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}(x)=1.$ Mostri che $f(1)=1$.

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Similar triangles built outside quadrilateral ABCD; if ABCD parallelogram then PQRS is

Outside a convex quadrilateral $ABCD$, similar triangles $APB,BQC,CRD,DSA$ are constructed so that $\angle PAB=\angle QBC=\angle RCD=\angle SDA,\angle PBA=\angle QCB=\angle RDC=\angle SAD.$ Prove that if $ABCD$ is a parallelogram, then so is $PQRS$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangoli simili costruiti al di fuori dell’ABCD quadrilaterale; se ABCD è parallelo, allora il PQRS è *

Al di fuori di un quadrilaterale converso $ABCD$, sono costruiti triangoli simili $APB,BQC,CRD,DSA$ in modo che $\angle PAB=\angle QBC=\angle RCD=\angle SDA,\angle PBA=\angle QCB=\angle RDC=\angle SAD.$ dimostri che se $ABCD$ è un parallelo, allora lo è anche $PQRS$.

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If b|a^3, c|b^3, a|c^3 then abc divides (a+b+c)^13

Let $a,b,c$ be positive integers such that $b\mid a^3$, $c\mid b^3$ and $a\mid c^3$. Prove that $abc\mid (a+b+c{)}^{13}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Se

$a,b,c$ siano integri positivi come $b\mid a^3$, $c\mid b^3$ e $a\mid c^3$. Prove che $abc\mid (a+b+c{)}^{13}$.

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2n participants each acquainted with >=n others; pair into n double rooms by acquaintance

There are $2n$ participants in a conference. Each of the persons is acquainted with at least $n$ other persons. Prove that it is possible to accomodate the participants in $n$ double rooms so that each of them would share a room with his/her acquaintance.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2n partecipanti, ciascuno conosciuto con >=n altri; coppia in n camere doppie per conoscenza

Ci sono $2n$ partecipanti a una conferenza. Ciascuna delle persone conosce almeno $n$ altre persone. dimostrare che è possibile ospitare i partecipanti in $n$ camere doppie in modo che ognuno di loro condivida una stanza con il suo/la sua conoscenza.

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Prove (1-p^m)^n + (1-q^n)^m >= 1 for nonneg p,q with p+q=1

Let $p,q$ be nonnegative real numbers with $p+q=1$, and let $m,n$ be positive integers. Prove that $(1-p^m{)}^n+(1-q^n{)}^m\ge 1.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove (1-p^m)^n + (1-q^n)^m >= 1 per p,q non negativo con p+q=1

Lasciate che $p,q$ siano numeri reali non negativi con $p+q=1$, e lasciate che $m,n$ siano numeri interi positivi. Provare che $(1-p^m{)}^n+(1-q^n{)}^m\ge 1.$

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Triangle perimeter 2p, circumradius R, inradius r: show p < 2(R+r)

Let $R$ and $r$ be the circumradius and inradius of a triangle of perimeter $2p$, respectively. Show that $p<2(R+r)$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Perimetro triangolare 2p, radio circundante R, radio ininterrato r: mostra p < 2(R+r) *

Il $R$ e il $r$ siano rispettivamente il circondario e l’inradio di un triangolo di perimetro $2p$. Mostra che $p<2(R+r)$.

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Tetrahedron: opposite dihedral angle sums equal iff opposite edge sums equal

Prove that the sums of the opposite dihedral angles of a tetrahedron are equal if and only if the sums of the opposite edges of the tetrahedron are equal.

Topic: Geometria solida Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Tetraedro: somma di angolo diedro opposto uguale se somma di bordo opposto uguale *

Prova che le somme degli angoli diedrali opposti di un tetraedro sono uguali se e solo se le somme dei bordi opposti del tetraedro sono uguali.

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