Olimpiade Matematica Polacca 1994 — Round 2

Find all degree-5 real polynomials with divisibility conditions involving (x-1)^3 and (x+1)^3.

Find all real polynomials $P(x)$ of degree 5 such that $(x-1{)}^3\mid P(x)+1$ and $(x+1{)}^3\mid P(x)-1$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i polinomi reali di grado-5 con condizioni di divisibilità che coinvolgono (x-1)^3 e (x+1)^3.

Trovare tutti i polinomi reali $P(x)$ di grado 5 come $(x-1{)}^3\mid P(x)+1$ e $(x+1{)}^3\mid P(x)-1$.

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Given positive reals whose sum equals their product, and positive b_i with a_i <= b_i, prove the sum of b_i is at most their product.

Let $a_1,\dots ,a_n$ be positive real numbers such that ${\sum }_{i=1}^n{a}_i={\prod }_{i=1}^n{a}_i$, and let $b_1,\dots ,b_n$ be positive real numbers such that $a_i\le b_i$ for all $i$. Prove that ${\sum }_{i=1}^n{b}_i\le {\prod }_{i=1}^n{b}_i$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dati i numeri positivi reali la cui somma è pari al loro prodotto, e i positivi b_i con a_i <= b_i, dimostrare che la somma di b_i è al massimo il loro prodotto.

Lasciate che $a_1,\dots ,a_n$ siano numeri reali positivi come ${\sum }_{i=1}^n{a}_i={\prod }_{i=1}^n{a}_i$, e lasciate che $b_1,\dots ,b_n$ siano numeri reali positivi come $a_i\le b_i$ per tutti $i$. Prove che ${\sum }_{i=1}^n{b}_i\le {\prod }_{i=1}^n{b}_i$.

src_pol_1994_r2__Q02

A plane through the center of a cube intersects it in a cyclic hexagon; show the hexagon is regular.

A plane passing through the center of a cube intersects the cube in a cyclic hexagon. Show that this hexagon is regular.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un piano attraverso il centro di un cubo lo incrocia in un esagono ciclico; mostra che l’esagono è regolare.

Un piano che attraversa il centro di un cubo incrocia il cubo in un esagono ciclico. Mostrate che questo esagono è regolare.

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Each vertex of a cube is assigned 1 or -1, each face the product of its four vertices; find all possible values of the sum of all 14 numbers.

Each vertex of a cube is assigned $1$ or $-1$. Each face is assigned the product of the four numbers at its vertices. Determine all possible values that can be obtained as the sum of all the $14$ assigned numbers.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ogni vertice di un cubo è assegnato 1 o -1, ognuno rivolto al prodotto dei suoi quattro vertici; trovare tutti i valori possibili della somma di tutti i 14 numeri.

Ogni vertice di un cubo è assegnato $1$ o $-1$. A ciascuna faccia viene assegnato il prodotto dei quattro numeri al suo vertice. Determinare tutti i valori possibili che possono essere ottenuti come somma di tutti i numeri assegnati $14$.

src_pol_1994_r2__Q04

Incircle of triangle ABC touches AB and BC at P and Q; the bisector from A meets PQ at S; prove angle ASC is 90 degrees.

The incircle $o$ of a triangle $ABC$ is tangent to the sides $AB$ and $BC$ at $P$ and $Q$ respectively. The angle bisector at $A$ meets $PQ$ at point $S$. Prove $\angle ASC=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’incircolo del triangolo ABC tocca AB e BC a P e Q; il bisettore da A incontra PQ a S; dimostra che l’angolo ASC è di 90 gradi.

L’incircolo $o$ di un triangolo $ABC$ è tangente ai lati $AB$ e $BC$ rispettivamente a $P$ e $Q$. Il bisettore angolare a $A$ incontra $PQ$ al punto $S$. Provare $\angle ASC=90^{\circ }$.

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For a prime p, prove p divides some n^2-n+3 iff p divides some m^2-m+25.

Let $p$ be a prime number. Prove that there exists $n\in \mathbb{Z}$ such that $p\mid n^2-n+3$ if and only if there exists $m\in \mathbb{Z}$ such that $p\mid m^2-m+25$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per un primo p, provare p divide alcuni n^2-n+3 se p divide alcuni m

$p$ sia un numero primo. Dimostrare l’esistenza di $n\in \mathbb{Z}$ tale da $p\mid n^2-n+3$ se e solo se esiste $m\in \mathbb{Z}$ tale da $p\mid m^2-m+25$.

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