Olimpiade Matematica Polacca 1994 — Round 3

Triples of positive rationals with integral sum, reciprocal-sum, product

Determine all triples $(x,y,z)$ of positive rational numbers such that $x+y+z$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, and $xyz$ are all integral.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triplici di razionali positivi con somma integrale, somma reciproca, prodotto

Determinare tutti i triples $(x,y,z)$ dei numeri razionali positivi in modo tale che $x+y+z$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ e $xyz$ siano tutti integrali.

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Tangents from point on line to circle, midpoint line has fixed point

Let be given two parallel lines $k$ and $l$, and a circle not intersecting $k$. Two tangents from a variable point $A\in k$ to the circle intersect the line $l$ at $B$ and $C$. Let $m$ be the line through $A$ and the midpoint of $BC$. Prove that all the lines $m$ (as $A$ varies) have a common point.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tangenti da punto su linea a cerchio, linea di punto medio ha punto fisso

Si devono indicare due linee parallele $k$ e $l$ e un cerchio non incrociato $k$. Due tangenti da un punto variabile $A\in k$ al cerchio intersecano la linea $l$ a $B$ e $C$. $m$ è la linea che attraversa $A$ e il punto medio di $BC$. Prova che tutte le linee $m$ (come $A$ varia) hanno un punto comune.

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Mappings on subsets respecting intersection-min, limit of n-th root

Given a fixed integer $c\ge 1$, let $a(n)$ be the number of mappings $w$ from the subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$ to the integers $1,2,\dots ,c$ such that $w(A\cap B)=\min \{w(A),w(B)\}\text{for any two subsets }A,B\text{ of }\{1,\dots ,n\}.$ Compute ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a(n)}$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Induzione, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mappe su sottoinsiemi riguardanti intersezioni-min, limite di radice n-th

Data un numero intero fisso $c\ge 1$, $a(n)$ è il numero di mappamenti $w$ dai sottogruppi di $\{1,2,\dots ,n\}$ ai numeri interi $1,2,\dots ,c$ in modo tale che $w(A\cap B)=\min \{w(A),w(B)\}\text{for any two subsets }A,B\text{ of }\{1,\dots ,n\}.$ Computa ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a(n)}$.

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Three vessels, coprime capacities m and n, pour to get any k liters

We are given three vessels without the scale: two of them of capacities $m$ and $n$ liters are empty, and the third one of capacity $m+n$ liters is full of water, where $m$ and $n$ are coprime positive integers. Prove that for any $k=1,2,\dots ,m+n-1$, pouring out from one vessel into another, we can obtain exactly $k$ liters of water in the third vessel.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Tre navi con capacità di coprime m e n, versate per ottenere qualsiasi k litro *

Ci sono stati dati tre recipienti senza scala: due di essi di capacità $m$ e $n$ litri sono vuoti, e il terzo di capacità $m+n$ litri è pieno di acqua, dove $m$ e $n$ sono integri positivi copriemi. Prove che per qualsiasi $k=1,2,\dots ,m+n-1$, che scorre da un recipiente all’altro, possiamo ottenere esattamente $k$ litri di acqua nel terzo recipiente.

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Parallelepiped center, weighted sum of squared distances inequality

Let $O$ be the center of a parallelopiped $A_1{A}_2\cdots A_8$. Prove that $4{\sum }_{i=1}^{8}O{A}_i^2\le {\left({\sum }_{i=1}^{8}O{A}_i\right)}^2.$

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Centro parallelepiped, somma ponderata delle distanze quadrate disuguaglianza

Si deve $O$ essere il centro di un parallelo $A_1{A}_2\cdots A_8$. Provare che $4{\sum }_{i=1}^{8}O{A}_i^2\le {\left({\sum }_{i=1}^{8}O{A}_i\right)}^2.$

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n reals, zero sum, unit sum of squares, four satisfy double inequality with sum of cubes

Let $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ($n\ge 4$) be different real numbers which satisfy the conditions ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=0$ and ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^2=1$. Show that there exist four of these numbers, say $a,b,c,d$, such that $a+b+c+nabc\le {\sum }_{i=1}^n{x}_i^3\le a+b+d+nabd.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

n reali, somma zero, somma unità di quadrati, quattro soddisfano la doppia disuguaglianza con somma di cubetti

$x_1,x_2,\dots ,x_n$ ($n\ge 4$) siano diversi numeri reali che soddisfano le condizioni ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=0$ e ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^2=1$. Mostrare che esistono quattro di questi numeri, diciamo $a,b,c,d$, in modo che $a+b+c+nabc\le {\sum }_{i=1}^n{x}_i^3\le a+b+d+nabd.$

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