Olimpiade Matematica Polacca 1995 — Round 1

Natural number pairs where (x+1)/y and (y+1)/x are natural

Find all pairs $(x,y)$ of natural numbers such that the numbers $\frac{x+1}{y}$ and $\frac{y+1}{x}$ are natural.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Pairi numerici naturali in cui (x+1)/y e (y+1)/x sono naturali

Trova tutte le coppie $(x,y)$ di numeri naturali in modo tale che i numeri $\frac{x+1}{y}$ e $\frac{y+1}{x}$ siano naturali.

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Cyclic system of equations with absolute values, positive integer n≥2

For a positive integer $n\ge 2$, solve the following system of equations: $x_1(n)=x_2(n)+|x_3(n)-1|\cdot |x_n(n)-1|,$ $x_2(n)=x_3(n)+|x_4(n)-1|\cdot |x_1(n)-1|,$ $⋮$ $x_n(n)=x_1(n)+|x_2(n)-1|\cdot |x_{n-1}(n)-1|.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sistema ciclico di equazioni con valori assoluti, intero positivo n≥2

Per un intero positivo $n\ge 2$, risolvere il seguente sistema di equazioni: $x_1(n)=x_2(n)+|x_3(n)-1|\cdot |x_n(n)-1|,$ $x_2(n)=x_3(n)+|x_4(n)-1|\cdot |x_1(n)-1|,$ $⋮$ $x_n(n)=x_1(n)+|x_2(n)-1|\cdot |x_{n-1}(n)-1|.$

src_pol_1995_r1__Q02

Cyclic quadrilateral with a²+b²+c²+d²=8R²: right angle or perpendicular diagonals

A quadrilateral with sides $a,b,c,d$ is inscribed in a circle of radius $R$. Prove that if $a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2$, then either none of the angles of the quadrilateral is right, or its diagonals are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali ciclici con a2+b2+c2+d2=8R2: angolo retto o diagonali perpendicolari

Un quadrilaterale con lati $a,b,c,d$ è inserito in un cerchio di raggio $R$. Prova che se $a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2$, allora o nessuno degli angoli del quadrilaterale è giusto, o le sue diagonali sono perpendicolari.

src_pol_1995_r1__Q03

19 students, 5 olympiads, three pairwise common; two olympiads share ≥7

In each school 19 students take part in five different olympiads. In each olympiad at least 19 students take part, but none of the students participates in more than three olympiads. Prove that if every three olympiads have a common participant, then there are at least two olympiads having at least 7 common participants.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

19 studenti, 5 olimpiadi, tre in coppia comuni; due olimpiadi in comune ≥7

In ciascuna scuola 19 studenti partecipano a cinque diverse Olimpiadi. In ciascuna olimpiada partecipano almeno 19 studenti, ma nessuno degli studenti partecipa a più di tre olimpiadi. Prova che se ogni tre Olimpiadi hanno un partecipante comune, allora ci sono almeno due Olimpiadi con almeno 7 partecipanti comuni.

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Equivalence of two conditions on positive reals a, b

Prove that the following two conditions on positive numbers $a,b$ are equivalent: (i) $\sqrt{a}+1>\sqrt{b}$, (ii) for every $x>\frac{1}{x-1}$, we have $ax>b$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equivalenza di due condizioni sui risultati positivi a, b

Prove che le seguenti due condizioni per i numeri positivi $a,b$ sono equivalenti: (i) $\sqrt{a}+1>\sqrt{b}$, (ii) per ogni $x>\frac{1}{x-1}$, abbiamo $ax>b$.

src_pol_1995_r1__Q05

Cevians from interior point; express sum a+b+c as product

Let $P$ be a point inside a triangle $ABC$. The rays $AP$, $BP$, $CP$ intersect $BC$, $CA$, $AB$ at $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ respectively. Set $a=AP/P{A}^{\prime }$, $b=BP/P{B}^{\prime }$, $c=CP/P{C}^{\prime }$. Express the product of the sum $a+b+c$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ceviani dal punto interno; somma espressa a+b+c come prodotto

$P$ sia un punto all’interno di un triangolo $ABC$. I raggi $AP$, $BP$, $CP$ si intersecano rispettivamente a $BC$, $CA$, $AB$, $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$. Set $a=AP/P{A}^{\prime }$, $b=BP/P{B}^{\prime }$, $c=CP/P{C}^{\prime }$. Esprimere il prodotto della somma $a+b+c$.

src_pol_1995_r1__Q06

Existence of differentiable f with 2f·f’=0 or |2f·f’|≤1

(a) Does there exist a differentiable function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, not identically equal to $0$, such that $2f(x)\cdot f^{\prime }(x)=0$ for all real $x$? (b) Does there exist a differentiable function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, not identically equal to $0$, such that $-1\le 2f(x)\cdot f^{\prime }(x)\le 1$ for all real $x$?

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Existence of differentiable f with 2f·f’=0 or |2f·f’|≤1

(a) Does there exist a differentiable function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, not identically equal to $0$, such that $2f(x)\cdot f^{\prime }(x)=0$ for all real $x$? (b) Does there exist a differentiable function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, not identically equal to $0$, such that $-1\le 2f(x)\cdot f^{\prime }(x)\le 1$ for all real $x$?

src_pol_1995_r1__Q07

Regular n-gon pyramid: prove sin²α − sin²β ≥ tan²(π/n)

In a regular pyramid with a regular $n$-gon as a base, a lateral face and the base form an angle $\alpha$, while a lateral edge and the base edge form an angle $\beta$. Prove that ${\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta \ge {\tan }^2\frac{\pi }{n}.$

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Piramida n-gon regolare: prova sin2α − sin2β ≥ tan2(π/n) *

In una piramide regolare con un normale $n$-gon come base, una faccia laterale e la base formano un angolo $\alpha$, mentre un bordo laterale e il bordo base formano un angolo $\beta$. Provare che ${\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta \ge {\tan }^2\frac{\pi }{n}.$

src_pol_1995_r1__Q08

a+b=1, a^b and b^a rational implies a and b rational

Let $a$ and $b$ be positive real numbers with the sum $1$. If $a^b$ and $b^a$ are rational, show that so are $a$ and $b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

a+b=1, a^b e b^a razionale implica a e b razionale

$a$ e $b$ siano numeri reali positivi con la somma $1$. Se $a^b$ e $b^a$ sono razionali, dimostrare che lo sono anche $a$ e $b$.

src_pol_1995_r1__Q09

Three pairs of rays from collinear points form quadrilaterals; two tangent implies third tangent

Three distinct points are given on a line $k$. From each of these points we draw a pair of rays so that all the rays are on the same side of $k$. Every two of these three pairs of rays form a quadrilateral. Prove that if two of these quadrilaterals are tangent, then so is the third.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre coppie di raggi provenienti da punti collineari formano quadrilaterali; due tangenti implicano una terza tangente

Tre punti distinti sono indicati su una linea $k$. Da ciascuno di questi punti disegniamo una coppia di raggi in modo che tutti i raggi siano sullo stesso lato di $k$. Ogni due di queste tre coppie di raggi formano un quadrilaterale. Prova che se due di questi quadrilaterali sono tangenti, allora anche il terzo.

src_pol_1995_r1__Q10

Expected difference of largest and smallest among m draws from {1,…,n}

Let $n>m>1$ be rational numbers. We randomly draw $m$ distinct numbers from the set $\{1,2,\dots ,n\}$. Find the expected value of the difference between the largest and the smallest of the drawn numbers.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Differenza attesa tra i più grandi e i più piccoli tra m tratti da {1,…,n}

$n>m>1$ siano numeri razionali. Tracciamo a caso $m$ numeri distinti dal set $\{1,2,\dots ,n\}$. Trova il valore atteso della differenza tra il più grande e il più piccolo dei numeri tratti.

src_pol_1995_r1__Q11

Recursive sequence; prove all partial sums are less than 1

The sequence $(x_n)$ is given by $x_1=\frac{1}{2},x_n=\frac{2n-3}{2n}{x}_{n-1}\text{ for all }n\ge 2.$ Prove that for all $n\in \mathbb{N}$ it holds that $x_1+x_2+\cdots +x_n<1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza ricorrente; dimostrare che tutte le somme parziali sono inferiori a 1

La sequenza $(x_n)$ viene data da $x_1=\frac{1}{2},x_n=\frac{2n-3}{2n}{x}_{n-1}\text{ for all }n\ge 2.$ Prove che per tutti $n\in \mathbb{N}$ contiene $x_1+x_2+\cdots +x_n<1$.

src_pol_1995_r1__Q12