Olimpiade Matematica Polacca 1995 — Round 3

Count subsets of {1..2n} with no solution to x+y=2z+1

Find the number of subsets of $\{1,2,\dots ,2n\}$ in which the equation $x+y=2z+1$ has no solutions.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conteggio di sottoinsiemi di {1..2n} senza soluzione a x+y=2z+1

Trova il numero di sottoinsiemi di $\{1,2,\dots ,2n\}$ in cui l’equazione $x+y=2z+1$ non ha soluzioni.

src_pol_1995_r3__Q01

Convex polygon cut into pentagon and triangles, largest area

A convex polygon is cut by its diagonals into a pentagon and ten triangles. What is the largest number of the obtained triangles which may have the same area?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Poligono converso tagliato in pentagoni e triangoli, superficie più grande

Un poligono convexo è tagliato dalle sue diagonali in un pentagono e dieci triangoli. Qual è il maggior numero di triangoli ottenuti che possono avere la stessa area?

src_pol_1995_r3__Q02

Sequence mod p defined by recursion; find remainder of a_n divided by p

Let $p>3$ be a prime and let $q=p^2$. The sequence $(a_n)$ is defined by $a_n=\{\begin{array}{ll}n& \text{for }n=0,1,2,\dots ,p-1;\\ a_{n-1}+a_{n-p}& \text{for }n\ge p.\end{array}$ Determine the remainder when $a_q$ is divided by $p$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza mod p definita con ricursione; trovare il resto di a_n diviso per p

Lasciate che $p>3$ sia un primo e lasciate $q=p^2$. La sequenza $(a_n)$ è definita da $a_n=\{\begin{array}{ll}n& \text{for }n=0,1,2,\dots ,p-1;\\ a_{n-1}+a_{n-p}& \text{for }n\ge p.\end{array}$ Determina il rimanente quando $a_q$ è diviso da $p$.

src_pol_1995_r3__Q03

Positive reals with harmonic mean 1; minimize sum of reciprocals expression

Let $x_1,x_2,\dots ,x_n$ be positive numbers with the harmonic mean equal to $1$. Find the smallest possible value of $x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+\cdots +\frac{x_n^n}{n}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi con media armonica 1; minimizzare la somma delle espressioni reciproche

$x_1,x_2,\dots ,x_n$ siano numeri positivi con media armonica pari a $1$. Trova il minimo valore possibile di $x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+\cdots +\frac{x_n^n}{n}.$

src_pol_1995_r3__Q04

Urn with n sheets labelled 1..n; expected number of drawings divisible by 4

An urn contains $n$ sheets of papers labelled $1,2,\dots ,n$. We draw the sheets one by one without putting them back into the urn until we obtain a sheet with a number divisible by $4$. For a fixed $n$, determine all values of $k$ for which the expected value of the number of drawings is equal to $k$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Urn con n fogli etichettati 1..n; numero previsto di disegni divisibili per 4

Una urna contiene fogli di carta $n$ etichettati $1,2,\dots ,n$. Tracciamo le foglie una per una senza rimetterle nell’urna fino a ottenere un foglio con un numero divisibile per $4$. Per un $n$ fisso, determinare tutti i valori di $k$ per i quali il valore atteso del numero di disegni è uguale a $k$.

src_pol_1995_r3__Q05

Rays from common endpoint; prove exactly one pair of points B,C on rays with PA+AB=PC+CB and PB+BC=PA+AC

Three rays $l$, $m$, $n$ in the space with a common endpoint $P$ and a point $A$ on $l$ are given. Prove that there exists exactly one pair of points $B\in m$ and $C\in n$ such that $PA+AB=PC+CB\text{and}PB+BC=PA+AC.$

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Raggi da un punto termico comune; dimostrare esattamente una coppia di punti B,C sui raggi con PA+AB=PC+CB e PB+BC=PA+AC

Sono indicati tre raggi $l$, $m$, $n$ nello spazio con un punto di fine comune $P$ e un punto $A$ su $l$. Prova che esiste esattamente un paio di punti $B\in m$ e $C\in n$ in modo tale che $PA+AB=PC+CB\text{and}PB+BC=PA+AC.$

src_pol_1995_r3__Q06